Calcule
44) integral tan x raiz[3]sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai usar conhecimentos de funções trigonométricas e substituição para integrar. Precisamos entender como a função tangente e a função secante estão relacionadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Lembrando que integral tan x cdot (sec x)^1/3 , dx é o mesmo que , então a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos pensar em uma substituição que simplifique a integral. Vamos deixar u = (sec x)^1/3 dudx = 13 (sec x)^-2/3 cdot sec x tan x = 13 (sec x)^1/3 tan x . Assim, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Observe que a expressão dudx = 13 (sec x)^1/3 tan x Rightarrow tan x cdot (sec x)^1/3 = 3 dudx aparece na derivada de . Podemos reorganizar a derivada para isolar :

Passo 5

Com isso, nossa integral original fica:
integral tan x cdot (sec x)^1/3 , dx = integral 3 , du = 3u + C
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos 3u + C = 3 (sec x)^1/3 + C de volta para termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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