Calcule
66) integral sec ^5 3 x tan 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de sec^5(3x) tan(3x) dx. Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que, se substituída por uma variável simples, facilitará a integração. Observamos que temos sec^5(3x) e tan(3x) multiplicados juntos. Sabemos que a derivada de sec(θ) é sec(θ)tan(θ), o que sugere que podemos usar substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição: seja u = sec^4(3x). Então, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x.

Passo 4

Calculando du:
u = sec^4(3x)
du/dx = 4sec^3(3x) cdot sec(3x)tan(3x) cdot 3
du = 12sec^4(3x)tan(3x) dx

Passo 5

Observamos que na nossa integral original temos sec^5(3x)tan(3x) dx. Podemos reescrever sec^5(3x) como sec^4(3x) cdot sec(3x). Assim, a integral fica:
integral sec^4(3x) cdot sec(3x) tan(3x) dx

Passo 6

Agora, percebemos que sec^4(3x)tan(3x) dx está presente na expressão para du. Então, reescrevemos a integral em termos de u:
integral sec(3x) cdot du12

Passo 7

Agora, precisamos expressar sec(3x) em termos de u. Sabemos que u = sec^4(3x), então sec(3x) = u^1/4. Substituindo na integral:
integral u^1/4 cdot du12

Passo 8

Agora, resolvemos a integral:
112 integral u^1/4 du = 112 cdot u^5/45/4 + C = 112 cdot 45 u^5/4 + C = 115 u^5/4 + C

Passo 9

Finalmente, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de x:
115 (sec^4(3x))^5/4 + C = 115 sec^5(3x) + C

Resposta

A integral de sec^5(3x) tan(3x) dx é igual a 115 sec^5(3x) + C, onde C é a constante de integração.

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