Seja g(x)=x^2+x-6|x-2|.
lim x 2 g(x) existe?

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem a função e queremos saber se o limite dessa função existe quando se aproxima de 2. Aqui, estamos trabalhando com limites e funções racionais envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com valores absolutos e calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) . Podemos fatorar o numerador:
g(x) = (x + 3)(x - 2)|x - 2|
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador . O valor absoluto de muda dependendo se é maior ou menor que 2. Por isso, precisamos considerar os limites laterais: quando se aproxima de 2 pela direita ( ) e pela esquerda ( ).

Passo 4

Vamos começar calculando o limite pela direita ( g(x) = (x + 3)(x - 2)x - 2 = x + 3 ). Quando limx to 2^+ g(x) = limx to 2^+ (x + 3) = 2 + 3 = 5 , . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda ( g(x) = (x + 3)(x - 2)2 - x = (x + 3)(x - 2)-(x - 2) = -(x + 3) ). Quando limx to 2^- g(x) = limx to 2^- (-(x + 3)) = -(2 + 3) = -5 , . Substituindo na função:
Calculando o limite:

Passo 6

Comparando os limites laterais:
limx to 2^+ g(x) = 5 e limx to 2^- g(x) = -5
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( ), o limite geral não existe.

Resposta

O limite de quando se aproxima de 2 não existe.

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