Seja
.
existe?
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente tem a função
e queremos saber se o limite dessa função existe quando
se aproxima de 2. Aqui, estamos trabalhando com limites e funções racionais envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com valores absolutos e calcular limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Podemos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador
. O valor absoluto de
muda dependendo se
é maior ou menor que 2. Por isso, precisamos considerar os limites laterais: quando
se aproxima de 2 pela direita (
) e pela esquerda (
).
Passo 4
Vamos começar calculando o limite pela direita (
). Quando
,
. Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite pela esquerda (
). Quando
,
. Substituindo na função:
Calculando o limite:
Passo 6
Comparando os limites laterais:
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (
), o limite geral não existe.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 2 não existe.