Calcule as abscissas dos pontos críticos da função f(x), cuja derivada é indicada abaixo. Qual ou quais destes pontos críticos são extremos relativos? Justifique, indicando se os pontos são de máximo ou mínimo. Estude o comportamento da função, indicando seus trechos crescentes e decrescentes.
d f/d x = (x^(2^3) - 2 x)' (x - 5)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as abscissas dos pontos críticos da função , usando a derivada que foi dada. Além disso, precisamos identificar quais desses pontos são máximos ou mínimos relativos e estudar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, pontos críticos e testes para determinar extremos relativos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a derivada que foi dada:
Aqui, significa , então a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de :
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver :
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é igual a zero. Ou seja:

Passo 5

Resolvendo :
Este é um ponto crítico.
Resolvendo :
Este também é um ponto crítico.

Passo 6

Agora, vamos determinar se cada ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Para isso, podemos usar o Teste da Segunda Derivada ou analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Vamos optar por analisar os sinais da derivada em torno dos pontos críticos.

Passo 7

Para :
  • Se pegarmos valores menores que , por exemplo, :
    Então, a derivada é negativa antes do ponto.
  • Se pegarmos valores maiores que , por exemplo, :
    Então, a derivada é positiva depois do ponto.
Como a derivada passa de negativa para positiva, isso indica que é um mínimo relativo.

Passo 8

Para :
Aqui, o fator é sempre positivo, exceto quando , onde ele é zero. Vamos analisar o sinal da derivada em torno de 5 considerando o outro fator .
  • Para , por exemplo, :
    Então, a derivada é positiva.
  • Para , por exemplo, :
    Então, a derivada também é positiva.
Como a derivada não muda de sinal em , esse ponto não é um máximo nem um mínimo relativo; é um ponto de inflexão.

Passo 9

Agora, vamos estudar onde a função está crescendo ou decrescendo:
  • Crescendo quando
  • Decrescendo quando
Analisando os pontos críticos e os sinais da derivada:
  • Para : Derivada negativa → Decrescente
  • Para : Derivada positiva → Crescente
  • Para : Derivada positiva → Crescente

Resposta

As abscissas dos pontos críticos são e . O ponto é um mínimo relativo. A função está decrescente para , e crescente para .

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