Calcule as abscissas dos pontos críticos da função
, cuja derivada é indicada abaixo. Qual ou quais destes pontos críticos são extremos relativos? Justifique, indicando se os pontos são de máximo ou mínimo. Estude o comportamento da função, indicando seus trechos crescentes e decrescentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as abscissas dos pontos críticos da função
, usando a derivada que foi dada. Além disso, precisamos identificar quais desses pontos são máximos ou mínimos relativos e estudar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, pontos críticos e testes para determinar extremos relativos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a derivada que foi dada:
Aqui,
significa
, então a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
:
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é igual a zero. Ou seja:
Passo 5
Resolvendo
:
Este é um ponto crítico.
Resolvendo
:
Este também é um ponto crítico.
Passo 6
Agora, vamos determinar se cada ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Para isso, podemos usar o Teste da Segunda Derivada ou analisar o sinal da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Vamos optar por analisar os sinais da derivada em torno dos pontos críticos.
Passo 7
Para
:
-
Se pegarmos valores menores que
, por exemplo, : Então, a derivada é negativa antes do ponto. -
Se pegarmos valores maiores que
, por exemplo, : Então, a derivada é positiva depois do ponto.
Como a derivada passa de negativa para positiva, isso indica que
é um mínimo relativo.
Passo 8
Para
:
Aqui, o fator
é sempre positivo, exceto quando
, onde ele é zero. Vamos analisar o sinal da derivada em torno de 5 considerando o outro fator
.
-
Para
, por exemplo, : Então, a derivada é positiva. -
Para
, por exemplo, : Então, a derivada também é positiva.
Como a derivada não muda de sinal em
, esse ponto não é um máximo nem um mínimo relativo; é um ponto de inflexão.
Passo 9
Agora, vamos estudar onde a função está crescendo ou decrescendo:
- Crescendo quando
- Decrescendo quando
Analisando os pontos críticos e os sinais da derivada:
- Para
: Derivada negativa → Decrescente - Para
: Derivada positiva → Crescente - Para
: Derivada positiva → Crescente
Resposta
As abscissas dos pontos críticos são
e
. O ponto
é um mínimo relativo. A função
está decrescente para
, e crescente para
.