Resolva as seguintes desigualdades |x| - |x - 1| < x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a desigualdade . Esse exercício cai na área de álgebra, especificamente lidando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os valores absolutos e como lidar com eles em diferentes intervalos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número, , representa a sua distância até o zero na reta numérica, sempre sendo positivo ou zero. Ou seja:
Com isso em mente, para resolver a desigualdade , precisamos considerar diferentes casos para , dependendo de onde os valores dentro dos valores absolutos mudam de sinal. No nosso caso, isso acontece em e .

Passo 3

Vamos dividir a resolução em três intervalos diferentes:
  1. Quando
  2. Quando
  3. Quando
Em cada intervalo, vamos simplificar os valores absolutos e resolver a desigualdade correspondente.

Passo 4

Caso 1:
Aqui, é negativo, então:
Substituindo na desigualdade:
Como estamos no intervalo , a solução desse caso é:

Passo 5

Caso 2:
Aqui, é não negativo, então:
Substituindo na desigualdade:
Como estamos no intervalo e a solução é , toda a faixa satisfaz a desigualdade.

Passo 6

Caso 3:
Aqui, tanto quanto são não negativos, então:
Substituindo na desigualdade:
No intervalo , a solução é .

Resposta

Unindo as soluções dos três casos, temos:
Simplificando, a solução completa da desigualdade é:

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