Resolva as seguintes desigualdades
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Esse exercício cai na área de álgebra, especificamente lidando com desigualdades envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os valores absolutos e como lidar com eles em diferentes intervalos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número,
, representa a sua distância até o zero na reta numérica, sempre sendo positivo ou zero. Ou seja:
Com isso em mente, para resolver a desigualdade
, precisamos considerar diferentes casos para
, dependendo de onde os valores dentro dos valores absolutos mudam de sinal. No nosso caso, isso acontece em
e
.
Passo 3
Vamos dividir a resolução em três intervalos diferentes:
- Quando
- Quando
- Quando
Em cada intervalo, vamos simplificar os valores absolutos e resolver a desigualdade correspondente.
Passo 4
Caso 1:
Aqui,
é negativo, então:
Substituindo na desigualdade:
Como estamos no intervalo
, a solução desse caso é:
Passo 5
Caso 2:
Aqui,
é não negativo, então:
Substituindo na desigualdade:
Como estamos no intervalo
e a solução é
, toda a faixa satisfaz a desigualdade.
Passo 6
Caso 3:
Aqui, tanto
quanto
são não negativos, então:
Substituindo na desigualdade:
No intervalo
, a solução é
.
Resposta
Unindo as soluções dos três casos, temos:
Simplificando, a solução completa da desigualdade
é:
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Resolva o PVI
onde
e
são coordenadas polares. A solução é a curva chamada Lemniscata.
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Calcule as abscissas dos pontos críticos da função
, cuja derivada é indicada abaixo. Qual ou quais destes pontos críticos são extremos relativos? Justifique, indicando se os pontos são de máximo ou mínimo. Estude o comportamento da função, indicando seus trechos crescentes e decrescentes.
Usando a regra de l