Resolva o PVI
onde
e
são coordenadas polares. A solução é a curva chamada Lemniscata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo coordenadas polares. A equação que precisamos resolver é:
Isso está falando sobre como a distância
varia com o ângulo
. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais, especificamente uma equação que pode ser resolvida usando métodos de separação de variáveis. Vamos precisar manipular a equação para isolar
e
e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
sozinho:
Isso nos deixa com uma forma onde a derivada de
em relação a
está expressa em termos de
e
. Nosso objetivo agora é separar as variáveis
e
para integrar cada lado.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para facilitar a separação:
Agora, o lado esquerdo contém
e sua derivada, enquanto o lado direito tem apenas
. Isso é bom porque a gente consegue separar as variáveis agora.
Passo 4
Perceba que
é a derivada de
em relação a
. Então podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
Agora, vamos integrar o lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Vamos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Resposta
Substituindo
na equação, a solução do PVI é:
Essa é a equação da Lemniscata, que descreve uma curva com formato de oito.
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