Resolva o PVI
onde e são coordenadas polares. A solução é a curva chamada Lemniscata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI) envolvendo coordenadas polares. A equação que precisamos resolver é:
Isso está falando sobre como a distância varia com o ângulo . A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais, especificamente uma equação que pode ser resolvida usando métodos de separação de variáveis. Vamos precisar manipular a equação para isolar e e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar sozinho:
Isso nos deixa com uma forma onde a derivada de em relação a está expressa em termos de e . Nosso objetivo agora é separar as variáveis e para integrar cada lado.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para facilitar a separação:
Agora, o lado esquerdo contém e sua derivada, enquanto o lado direito tem apenas . Isso é bom porque a gente consegue separar as variáveis agora.

Passo 4

Perceba que é a derivada de em relação a . Então podemos reescrever a equação como:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
çã
Agora, vamos integrar o lado direito:
Então, temos:

Passo 6

Vamos multiplicar tudo por 2 para simplificar:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Resposta

Substituindo na equação, a solução do PVI é:
Essa é a equação da Lemniscata, que descreve uma curva com formato de oito.

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