Calcule a integral indefinida abaixo:
integral[e^3 x+2^4 x+cos (5 x)+x^6] d x
OBS: Todos os cálculos necessários às soluções das questões devem ser apresentados.
Boa sorte

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida que envolve várias funções: exponencial, potências, funções trigonométricas e polinomiais. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo integral, mais especificamente as regras básicas de integração para diferentes tipos de funções. Precisamos saber como integrar funções exponenciais, funções com base diferente de , funções trigonométricas como o cosseno, e polinômios.

Passo 2

Primeiro, observe que a integral dada é a soma de quatro termos:
integral(e^3x + 2^4x + cos(5x) + x^6) dx
Uma propriedade importante das integrais é que a integral da soma é igual à soma das integrais. Ou seja:
integral(e^3x + 2^4x + cos(5x) + x^6) dx = integral e^3x dx + integral 2^4x dx + integral cos(5x) dx + integral x^6 dx

Passo 3

Vamos começar integrando integral e^kx dx = 1k e^kx + C . A regra para integrar uma função exponencial da forma integral e^3x dx = 13 e^3x é:
Aplicando essa regra:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral a^kx dx = a^kxk ln a + C . Para funções exponenciais com base diferente de integral 2^4x dx = 2^4x4 ln 2 , usamos a seguinte regra:
Aqui, e . Então:

Passo 5

Vamos integrar integral cos(kx) dx = 1k sin(kx) + C . A regra para integrar o cosseno é:
integral cos(5x) dx = 15 sin(5x)
Aqui, . Portanto:

Passo 6

Por último, vamos integrar integral x^n dx = x^n+1n+1 + C . A regra para integrar potências de integral x^6 dx = x^77 é:
Aqui, . Assim:

Passo 7

Agora, somamos todas as integrais que calculamos:
integral(e^3x + 2^4x + cos(5x) + x^6) dx = 13 e^3x + 2^4x4 ln 2 + 15 sin(5x) + x^77 + C

Resposta

integral(e^3x + 2^4x + cos(5x) + x^6) dx = 13 e^3x + 2^4x4 ln 2 + 15 sin(5x) + x^77 + C

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