Usando a regra de l
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve cálculo de limites, especificamente utilizando a Regra de L’Hôpital quando encontramos uma indeterminação do tipo
ou
. Para resolver, vamos precisar derivar o numerador e o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Vamos calcular os limites do numerador e do denominador separadamente quando
se aproxima de 0.
Numerador:
. Quando
,
e
, então
.
Denominador:
. Sabemos que
quando
, então
.
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, podemos usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
.
Derivada do denominador:
. Usamos a regra do produto:
onde
e
.
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelo limite das derivadas:
Vamos simplificar substituindo
:
Numerador:
Denominador:
Obtemos novamente uma forma indeterminada
, o que indica que o limite tende a
ou
. Para determinar o sinal, vamos analisar o comportamento próximo de 0.
Passo 5
Analisando o denominador
quando
se aproxima de 0:
-
, então -
, então
Portanto, o denominador aprox.
, que é positivo próximo de 0.
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
, o limite geral tende a
.
Resposta
O limite
é igual a
.