Usando a regra de l lim x 0 2 x^2-sen(2 x)2 x^2[tg(2 x)]

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve cálculo de limites, especificamente utilizando a Regra de L’Hôpital quando encontramos uma indeterminação do tipo ou . Para resolver, vamos precisar derivar o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Vamos calcular os limites do numerador e do denominador separadamente quando se aproxima de 0.
Numerador: . Quando , e , então .
Denominador: . Sabemos que quando , então .
Como tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, podemos usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' .
Derivada do numerador: u' = 4x .
Derivada do denominador: v' = 2 sec^2(2x) . Usamos a regra do produto:
ddx(2x^2 cdot tan(2x)) = 4x cdot tan(2x) + 2x^2 cdot 2 sec^2(2x) = 4x tan(2x) + 4x^2 sec^2(2x)
onde e .
Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelo limite das derivadas:
limx 0 4x - 2cos(2x)4x tan(2x) + 4x^2 sec^2(2x)
Vamos simplificar substituindo 4(0) - 2cos(0) = -2 cdot 1 = -2 :
Numerador:
4(0) cdot 0 + 4(0)^2 cdot 1 = 0
Denominador:
Obtemos novamente uma forma indeterminada , o que indica que o limite tende a ou . Para determinar o sinal, vamos analisar o comportamento próximo de 0.

Passo 5

Analisando o denominador quando se aproxima de 0:
  • , então
  • , então
Portanto, o denominador aprox. , que é positivo próximo de 0.
Como o numerador tende a e o denominador tende a , o limite geral tende a .

Resposta

O limite é igual a .

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