Calcule as aceleraçôes euleriana e lagrangeana do seguinte campo de velocidade:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por:
Estamos trabalhando com Mecânica dos Fluidos, especificamente calculando as acelerações euleriana e lagrangeana desse campo de velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e vetoriais.
Passo 2
Vamos começar calculando a aceleração euleriana. Essa aceleração representa a variação da velocidade em um ponto fixo no espaço ao longo do tempo. Ela é dada por:
No nosso caso, o campo de velocidade não depende explicitamente do tempo, ou seja, não há termos com $ t $. Portanto:
Então, a aceleração euleriana é zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração convectiva, que faz parte da aceleração lagrangeana. Essa aceleração considera como a velocidade muda à medida que nos movemos com o fluido. Ela é dada por:
Para calcular isso, precisamos primeiro encontrar as derivadas parciais das componentes de $ \mathbf{u} $ em relação às coordenadas espaciais $ x_{1} $ e $ x_{2} $.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto $ (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} $:
Isso resulta em:
Passo 6
Aplicando essa operação ao vetor velocidade $ \mathbf{u} $:
Simplificando:
Passo 7
A aceleração lagrangeana é a soma da aceleração euleriana e da aceleração convectiva:
Resposta
As acelerações são:
- Aceleração euleriana:
- Aceleração lagrangeana: