Calcule as aceleraçôes euleriana e lagrangeana do seguinte campo de velocidade:
u=2 x2 x1 e1+x1 e2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por:
u = 2x2 x1 e1 + x1 e2
Estamos trabalhando com Mecânica dos Fluidos, especificamente calculando as acelerações euleriana e lagrangeana desse campo de velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e vetoriais.

Passo 2

Vamos começar calculando a aceleração euleriana. Essa aceleração representa a variação da velocidade em um ponto fixo no espaço ao longo do tempo. Ela é dada por:
aeu<=riana = partial upartial t
No nosso caso, o campo de velocidade não depende explicitamente do tempo, ou seja, não há termos com $ t $. Portanto:
t
Então, a aceleração euleriana é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração convectiva, que faz parte da aceleração lagrangeana. Essa aceleração considera como a velocidade muda à medida que nos movemos com o fluido. Ela é dada por:
aconvectiva = (u cdot nabla) u
Para calcular isso, precisamos primeiro encontrar as derivadas parciais das componentes de $ \mathbf{u} $ em relação às coordenadas espaciais $ x_{1} $ e $ x_{2} $.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial upartial x1 = partialpartial x1 ( 2x2 x1 e1 + x1 e2 ) = 2x2 e1 + e2
partial upartial x2 = partialpartial x2 ( 2x2 x1 e1 + x1 e2 ) = 2x1 e1

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto $ (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} $:
(u cdot nabla) u
Isso resulta em:
u cdot nabla = (2x2 x1 e1 + x1 e2) cdot ( e1 partialpartial x1 + e2 partialpartial x2 )

Passo 6

Aplicando essa operação ao vetor velocidade $ \mathbf{u} $:
u
Simplificando:
aconvectiva = (u cdot nabla) u = 2x2 x1 ( 2x2 e1 + e2 ) + x1 ( 2x1 e1 )

Passo 7

A aceleração lagrangeana é a soma da aceleração euleriana e da aceleração convectiva:
alagran>=ana = aeu<=riana + aconvectiva = 0 + (4x2^2 x1 + 2x1^2) e1 + 2x2 x1 e2

Resposta

As acelerações são:
  • Aceleração euleriana:
aeu<=riana = 0
  • Aceleração lagrangeana:
alagran>=ana = (4x2^2 x1 + 2x1^2) e1 + 2x2 x1 e2

Exercícios relacionados

Dado o campo de velocidade:
u=3 t e1+x1 x3 e2+t x2^2 e3
Calcule a aceleração Lagrangeana deste campo.
Para o seguinte campo de velocidade com transferência de calor:
x1=a t+b
x2=2 t
Calcule a variação lagrangeana do campo de temperatura T(x1, x2)
Um sistema hidráulico de irrigação é feito com tubos de diâmetro interno de 30[mm) de aço galvanizado ( varepsilon=0,15(mm) ). A descarga é realizada em duas saidas C e D, sendo no ponto A é provida uma vazão de 16(ell / s). O regime de escoamento pode ser considerado completamente rugoso e as perdas menores silo desprezíveis. Determine:
A pressão no ponto A: (1.5 pontos)
Um sistema hidráulico de irrigação é feito com tubos de diâmetro interno de 30[mm) de aço galvanizado ( varepsilon=0,15(mm) ). A descarga é realizada em duas saidas C e D, sendo no ponto A é provida uma vazão de 16(ell / s). O regime de escoamento pode ser considerado completamente rugoso e as perdas menores silo desprezíveis. Determine:
As vazões nos pontos C e D; (2 pontos)