Para o seguinte campo de velocidade com transferência de calor:
Calcule a variação lagrangeana do campo de temperatura
Calcule a variação lagrangeana do campo de temperatura
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou está ligado ao estudo de campos de velocidade e transferência de calor, que são temas comuns em Física e Engenharia, especialmente na área de mecânica dos fluidos. A gente precisa calcular a variação lagrangeana do campo de temperatura $ T(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) $. Basicamente, isso significa determinar como a temperatura muda para uma partícula de fluido que está se movendo conforme o campo de velocidade dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a variação lagrangeana. Na mecânica dos fluidos, ela é conhecida como derivada material e é usada para acompanhar a mudança de uma propriedade (como a temperatura) ao longo do caminho de uma partícula de fluido. A fórmula geral para a derivada material de $ T $ é:
Aqui, $ u_1 $ e $ u_2 $ são as componentes da velocidade nas direções $ x_1 $ e $ x_2 $, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes da velocidade a partir do enunciado. Temos:
Para encontrar as componentes da velocidade $ u_1 $ e $ u_2 $, derivamos $ x_1 $ e $ x_2 $ em relação ao tempo $ t $:
Passo 4
Com as componentes da velocidade em mãos, podemos substituir na fórmula da derivada material:
Isso nos dá a variação lagrangeana da temperatura $ T $ no campo de velocidade fornecido.
Resposta
A variação lagrangeana do campo de temperatura $ T(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) $ é dada por: