Para o seguinte campo de velocidade com transferência de calor:
x1=a t+b
x2=2 t
Calcule a variação lagrangeana do campo de temperatura T(x1, x2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou está ligado ao estudo de campos de velocidade e transferência de calor, que são temas comuns em Física e Engenharia, especialmente na área de mecânica dos fluidos. A gente precisa calcular a variação lagrangeana do campo de temperatura $ T(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) $. Basicamente, isso significa determinar como a temperatura muda para uma partícula de fluido que está se movendo conforme o campo de velocidade dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a variação lagrangeana. Na mecânica dos fluidos, ela é conhecida como derivada material e é usada para acompanhar a mudança de uma propriedade (como a temperatura) ao longo do caminho de uma partícula de fluido. A fórmula geral para a derivada material de $ T $ é:
T
Aqui, $ u_1 $ e $ u_2 $ são as componentes da velocidade nas direções $ x_1 $ e $ x_2 $, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes da velocidade a partir do enunciado. Temos:
x1 = a t + b x2 = 2 t
Para encontrar as componentes da velocidade $ u_1 $ e $ u_2 $, derivamos $ x_1 $ e $ x_2 $ em relação ao tempo $ t $:
u1

Passo 4

Com as componentes da velocidade em mãos, podemos substituir na fórmula da derivada material:
D TD t = partial Tpartial t + a partial Tpartial x1 + 2 partial Tpartial x2
Isso nos dá a variação lagrangeana da temperatura $ T $ no campo de velocidade fornecido.

Resposta

A variação lagrangeana do campo de temperatura $ T(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) $ é dada por:
T(x1, x2)

Exercícios relacionados

Para o seguinte campo de velocidade:
u1=2 x2^2
u2=3 x1
Calcule as componentes da derivada material deste campo que sejam normal e tangencial ao vetor velocidade respectivamente.
Define-se o produto diádico, ou produto tensorial, entre dois vetores a e b da seguinte forma em notações compacta e indicial:
S=a\otimesb \ S
Observa-se que o resultado desta operação é um tensor. Usando o produto diádico acima, prove a seguinte identidade vetorial (onde a, b e u são vetores):
S • u = a(b * u )
Dado o campo de velocidade:
u=3 t e1+x1 x3 e2+t x2^2 e3
Calcule a aceleração Lagrangeana deste campo.
Calcule as aceleraçôes euleriana e lagrangeana do seguinte campo de velocidade:
u=2 x2 x1 e1+x1 e2