Dado o campo de velocidade:
u=3 t e1+x1 x3 e2+t x2^2 e3
Calcule a aceleração Lagrangeana deste campo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo de velocidade:
u = 3t, e1 + x1x3, e2 + t x2^2, e3
Nossa missão é calcular a aceleração Lagrangeana desse campo. Isso está relacionado com o conteúdo de Mecânica dos Fluidos, especificamente com a análise do movimento das partículas no fluido. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada material da velocidade, que nos dá a aceleração Lagrangeana.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração Lagrangeana. Na mecânica dos fluidos, a aceleração Lagrangeana (ou aceleração material) é a taxa de variação da velocidade de uma partícula fluida ao longo do tempo. Matematicamente, ela é dada por:
a = partial upartial t + (u cdot nabla) u
Aqui, partial upartial t é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, e (u cdot nabla) u é o termo convectivo que representa como a velocidade muda no espaço.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
partial upartial t = partialpartial t (3t, e1 + x1x3, e2 + t x2^2, e3) = 3, e1 + 0, e2 + x2^2, e3
Explicando: derivamos cada componente de u em relação a t. A segunda componente não depende de t, então a derivada é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo convectivo (u cdot nabla) u. Primeiro, precisamos expressar nabla em coordenadas cartesianas:
nabla = e1partialpartial x1 + e2partialpartial x2 + e3partialpartial x3
Então, o produto u cdot nabla fica:
u cdot nabla = 3t partialpartial x1 + x1x3 partialpartial x2 + t x2^2 partialpartial x3
Agora, aplicamos isso a u:
(u cdot nabla) u = 3t partial upartial x1 + x1x3 partial upartial x2 + t x2^2 partial upartial x3

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial upartial x1:
    partialpartial x1 (3t, e1 + x1x3, e2 + t x2^2, e3) = 0, e1 + x3, e2 + 0, e3
  2. partial upartial x2:
    partialpartial x2 (3t, e1 + x1x3, e2 + t x2^2, e3) = 0, e1 + 0, e2 + 2t x2, e3
  3. partial upartial x3:
    partialpartial x3 (3t, e1 + x1x3, e2 + t x2^2, e3) = 0, e1 + x1, e2 + 0, e3

Passo 6

Substituindo essas derivadas no termo convectivo:
(u cdot nabla) u = 3t (0, e1 + x3, e2 + 0, e3) + x1x3 (0, e1 + 0, e2 + 2t x2, e3) + t x2^2 (0, e1 + x1, e2 + 0, e3)
Simplificando cada termo:
  1. 3t (0, e1 + x3, e2 + 0, e3) = 0, e1 + 3t x3, e2 + 0, e3
  2. x1x3 (0, e1 + 0, e2 + 2t x2, e3) = 0, e1 + 0, e2 + 2t x1x3x2, e3
  3. t x2^2 (0, e1 + x1, e2 + 0, e3) = 0, e1 + t x1x2^2, e2 + 0, e3
Somando tudo:
(u cdot nabla) u = 0, e1 + (3t x3 + t x1x2^2), e2 + 2t x1x3x2, e3

Passo 7

Agora, juntamos os dois termos que calculamos para obter a aceleração Lagrangeana:
a = partial upartial t + (u cdot nabla) u = (3, e1 + 0, e2 + x2^2, e3) + (0, e1 + (3t x3 + t x1x2^2), e2 + 2t x1x3x2, e3)
Somando componente por componente:
a = 3, e1 + (3t x3 + t x1x2^2), e2 + (x2^2 + 2t x1x3x2), e3

Resposta

A aceleração Lagrangeana do campo de velocidade dado é:
a = 3, e1 + (3t x3 + t x1x2^2), e2 + (x2^2 + 2t x1x3x2), e3

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