Calcule integral duplaR(x^2+y^2) dxdy, onde R=(x, y) in R^2 ; 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= raiz1-x^2. Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para calcular . A região está definida por e . Isso significa que estamos lidando com uma área no primeiro quadrante de um círculo de raio 1. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas em coordenadas retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como os limites de integral0^1 integral0^raiz1 - x^2 (x^2 + y^2) , dy,dx vão de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a , a integral fica:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, ou seja, integrar integral0^raiz1 - x^2 (x^2 + y^2) , dy = x^2y + y^33 gr|0^raiz1 - x^2 em relação a x^2 raiz1 - x^2 + (raiz1 - x^2)^33 :
Substituindo os limites:

Passo 4

Agora, a integral se reduz a uma única variável integral0^1 (x^2 raiz1 - x^2 + (1 - x^2)^3/23) , dx :

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente.
Para -12 integral (1 - u) raizu , du = -12 (integral raizu , du - integral u^3/2 , du) , fazemos a substituição , então . Ajustando a integral, obtemos:
Integrando e substituindo de volta, encontramos .
Para , usando a mesma substituição, chegamos a .

Resposta

pi8

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