Calcule , onde e . Sem utilizar a mudança para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para calcular . A região está definida por e . Isso significa que estamos lidando com uma área no primeiro quadrante de um círculo de raio 1. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas em coordenadas retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como os limites de vão de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a , a integral fica:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, ou seja, integrar em relação a :
Substituindo os limites:
Passo 4
Agora, a integral se reduz a uma única variável :
Passo 5
Vamos resolver cada parte separadamente.
Para , fazemos a substituição , então . Ajustando a integral, obtemos: