Seja e dA. Interprete como um volume (faça um esboço gráfico) e determine o valor de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume definido pela integral dupla sobre a região . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, especificamente para encontrar volumes sob uma superfície. Vamos precisar entender como configurar e resolver essa integral para determinar o valor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida como o conjunto de todos os pontos onde varia de -2 a 2 e também varia de -2 a 2. Isso forma um quadrado no plano com lados de comprimento 4 unidades.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que estamos integrando: . Essa função depende apenas de , o que significa que, para cada valor de , o valor de não afeta . No entanto, precisamos lembrar que a raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é não negativo. Ou seja, implica que . Fora desse intervalo, a função não é real.
Passo 4
Com isso em mente, podemos simplificar nossa região de integração. Embora varie de -2 a 2, somente de -1 a 1 a função é real e contribui para o volume. Portanto, nossa integral dupla se reduz a:
onde .
Passo 5
Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples, uma em relação a e outra em relação a :
Aí observamos que não depende de , então podemos calcular a integral interna facilmente.
Passo 6
Calculando a integral interna em relação a :
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 8
A integral é uma integral conhecida que representa a área de um semicírculo de raio 1. O resultado dessa integral é .
Passo 9
Multiplicando pelo fator 4 que encontramos anteriormente: