Seja R=[-2,2] times[-2,2] e E=integral duplaR raiz1-x^2 dA. Interprete E como um volume (faça um esboço gráfico) e determine o valor de E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume definido pela integral dupla sobre a região . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, especificamente para encontrar volumes sob uma superfície. Vamos precisar entender como configurar e resolver essa integral para determinar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida como o conjunto de todos os pontos onde varia de -2 a 2 e também varia de -2 a 2. Isso forma um quadrado no plano com lados de comprimento 4 unidades.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que estamos integrando: . Essa função depende apenas de , o que significa que, para cada valor de , o valor de não afeta . No entanto, precisamos lembrar que a raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é não negativo. Ou seja, implica que . Fora desse intervalo, a função não é real.

Passo 4

Com isso em mente, podemos simplificar nossa região de integração. Embora E = integral duplaR' raiz1 - x^2 , dA varie de -2 a 2, somente de -1 a 1 a função é real e contribui para o volume. Portanto, nossa integral dupla se reduz a:
onde .

Passo 5

Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples, uma em relação a E = integralx=-1^1 ( integraly=-2^2 raiz1 - x^2 , dy ) dx e outra em relação a :
Aí observamos que não depende de , então podemos calcular a integral interna facilmente.

Passo 6

Calculando a integral interna em relação a integraly=-2^2 raiz1 - x^2 , dy = raiz1 - x^2 times (2 - (-2)) = raiz1 - x^2 times 4 = 4 raiz1 - x^2 :

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
E = integralx=-1^1 4 raiz1 - x^2 , dx = 4 integralx=-1^1 raiz1 - x^2 , dx

Passo 8

A integral integral-1^1 raiz1 - x^2 , dx = pi2 é uma integral conhecida que representa a área de um semicírculo de raio 1. O resultado dessa integral é .

Passo 9

Multiplicando pelo fator 4 que encontramos anteriormente:
E = 4 times pi2 = 2pi

Resposta

O valor de é .

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