Seja
e
dA. Interprete
como um volume (faça um esboço gráfico) e determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume
definido pela integral dupla
sobre a região
. Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, especificamente para encontrar volumes sob uma superfície. Vamos precisar entender como configurar e resolver essa integral para determinar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é definida como o conjunto de todos os pontos
onde
varia de -2 a 2 e
também varia de -2 a 2. Isso forma um quadrado no plano
com lados de comprimento 4 unidades.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Essa função depende apenas de
, o que significa que, para cada valor de
, o valor de
não afeta
. No entanto, precisamos lembrar que a raiz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é não negativo. Ou seja,
implica que
. Fora desse intervalo, a função não é real.
Passo 4
Com isso em mente, podemos simplificar nossa região de integração. Embora
varie de -2 a 2, somente de -1 a 1 a função
é real e contribui para o volume. Portanto, nossa integral dupla se reduz a:
onde
.
Passo 5
Vamos separar a integral dupla em duas integrais simples, uma em relação a
e outra em relação a
:
Aí observamos que
não depende de
, então podemos calcular a integral interna facilmente.
Passo 6
Calculando a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Passo 8
A integral
é uma integral conhecida que representa a área de um semicírculo de raio 1. O resultado dessa integral é
.
Passo 9
Multiplicando pelo fator 4 que encontramos anteriormente:
Resposta
O valor de
é
.