Calcule adj(A) e quando existir calcule A^-1, para as seguintes matrizes :
(a) [ccc2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a adjunta da matriz , que é uma matriz formada pelos cofatores de , e depois, se possível, achar a inversa de . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e cofatores, que são parte da matéria de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante é importante porque, se ele for diferente de zero, a matriz det(A) = 2(2 cdot 1 - 0 cdot (-2)) - 1((-1) cdot 1 - 0 cdot 3) + 3((-1) cdot (-2) - 2 cdot 3) tem inversa. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = 2(2 - 0) - 1(-1 - 0) + 3(2 - 6)
Substituindo os valores da matriz det(A) = 4 + 1 - 12 = -7 :

Passo 3

Como o determinante é e diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores de .

Passo 4

Vamos encontrar os cofatores de cada elemento da matriz 2 & 0 -2 & 1. O cofator -1 & 0 3 & 1 é dado por -1 & 2 3 & -2 vezes o determinante da matriz menor que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  • 1 & 3 -2 & 1
  • 2 & 3 3 & 1
  • 2 & 1 3 & -2
  • 1 & 3 2 & 0
  • 2 & 3 -1 & 0
  • 2 & 1 -1 & 2

Passo 5

Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores:
Cofatores = 2 & 1 & -4 -7 & -7 & 7 -6 & -3 & 5
A adjunta de adj(A) = 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5 é a transposta dessa matriz:

Passo 6

Por último, para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) adj(A) , usamos a fórmula:
A^-1 = 1-7 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5 = -27 & 1 & 67 -17 & 1 & 37 47 & -1 & -57
Sabemos que , então:

Resposta

A adjunta de adj(A) = 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5 é
A^-1 = -27 & 1 & 67 -17 & 1 & 37 47 & -1 & -57
e a inversa de é

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