Calcule e quando existir calcule , para as seguintes matrizes :
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a adjunta da matriz , que é uma matriz formada pelos cofatores de , e depois, se possível, achar a inversa de . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e cofatores, que são parte da matéria de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante é importante porque, se ele for diferente de zero, a matriz det(A) = 2(2 cdot 1 - 0 cdot (-2)) - 1((-1) cdot 1 - 0 cdot 3) + 3((-1) cdot (-2) - 2 cdot 3) tem inversa. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = 2(2 - 0) - 1(-1 - 0) + 3(2 - 6)
Substituindo os valores da matriz det(A) = 4 + 1 - 12 = -7 :
Passo 3
Como o determinante é e diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores de .
Passo 4
Vamos encontrar os cofatores de cada elemento da matriz 2 & 0 -2 & 1. O cofator -1 & 0 3 & 1 é dado por -1 & 2 3 & -2 vezes o determinante da matriz menor que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
1 & 3 -2 & 1
2 & 3 3 & 1
2 & 1 3 & -2
1 & 3 2 & 0
2 & 3 -1 & 0
2 & 1 -1 & 2
Passo 5
Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores:
Cofatores = 2 & 1 & -4 -7 & -7 & 7 -6 & -3 & 5
A adjunta de adj(A) = 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5 é a transposta dessa matriz:
Passo 6
Por último, para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) adj(A) , usamos a fórmula: