Determine a distância entre as retas r e s
r:lx=1-t y=2+3 t e o eixo x z=-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir a distância entre duas retas no espaço: a reta e o eixo (que vamos chamar de reta ). Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre a distância entre retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como estão definidas essas retas. A reta r: x = 1 - t y = 2 + 3t z = -t está parametrizada por:
s: x = t y = 0 z = 0
Já a reta , que é o eixo , pode ser representada por:
Aqui, é o parâmetro que varia para gerar todos os pontos de cada reta.

Passo 3

Para achar a distância entre essas duas retas, precisamos verificar se elas são paralelas, se se cruzam ou se são retas esquerdas (não coplanares e não paralelas). Observando as direções das retas, percebemos que elas não são paralelas nem se cruzam, então vamos usar a fórmula para calcular a distância entre retas esquerdas.

Passo 4

A fórmula para a distância d = |(a2 - a1) cdot (d1 times d2)||d1 times d2| entre duas retas esquerdas é:
Onde:
  • e são pontos em cada reta.
  • e são os vetores diretores das retas.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.

Passo 5

Vamos identificar os vetores diretores das retas dr = (-1, 3, -1) e ds = (1, 0, 0) :
  • Para a reta , olhando os coeficientes de :
  • Para a reta (eixo ):

Passo 6

Escolhemos pontos específicos em cada reta para calcular t = 0 Rightarrow (x, y, z) = (1, 2, 0) . Vamos escolher t = 0 Rightarrow (x, y, z) = (0, 0, 0) :
  • Na reta a2 - a1 = (0 - 1, 0 - 2, 0 - 0) = (-1, -2, 0) :
  • Na reta :
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial dr times ds = i & j & k -1 & 3 & -1 1 & 0 & 0 = (3 cdot 0 - (-1) cdot 0)i - (-1 cdot 0 - (-1) cdot 1)j + (-1 cdot 0 - 3 cdot 1)k :
= 0i - (0 + 1)j + (0 - 3)k = (0, -1, -3)
v = (0, -1, -3)

Passo 8

Vamos calcular o produto escalar (-1, -2, 0) cdot (0, -1, -3) = (-1)(0) + (-2)(-1) + (0)(-3) = 0 + 2 + 0 = 2 :
O valor absoluto fica .

Passo 9

Agora, calculamos a norma do vetor |v| = raiz0^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10 :

Passo 10

Finalmente, aplicamos os valores na fórmula da distância:
d = 2raiz10 = 2raiz1010 = raiz105

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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