Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralela a cada uma das retas e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto e que é paralela a duas retas dadas: e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores diretores de retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores das duas retas que são paralelas ao plano. Um vetor diretor de uma reta é um vetor que indica a direção dessa reta.
Para a reta , podemos igualar cada expressão a um parâmetro :
Então, o vetor diretor da reta é:
Para a reta , vamos igualar a um parâmetro :
Então, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, precisamos encontrar um vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que está no plano. Para isso, vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores e :
Calculando o produto vetorial:
n = i (1 cdot (-3) - 13 cdot 1) - j (12 cdot (-3) - 13 cdot 1) + k (12 cdot 1 - 1 cdot 1)
n = i (-3 - 13) - j (-32 - 13) + k (12 - 1)
n = i (-103) - j (-116) + k (-12)
Então, o vetor normal é:
n = ( -103, 116, -12 )
Podemos simplificar multiplicando cada componente por 6 para eliminar frações:
n = ( -20, 11, -3 )
Passo 4
Com o vetor normal n = (-20, 11, -3) e sabendo que o plano passa pelo ponto A=(1,5,2), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores:
-20(x - 1) + 11(y - 5) - 3(z - 2) = 0
Distribuindo:
-20x + 20 + 11y - 55 - 3z + 6 = 0
Simplificando:
-20x + 11y - 3z - 29 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais limpa: