São dados M1(2,-1), M2(1,-2) e M3(-1,3) pontos médios dos lados de um triângulo. Encontre os vértices desse triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos que são os pontos médios dos lados de um triângulo: M1(2,-1), M2(1,-2) e M3(-1,3). Nosso objetivo é descobrir onde ficam os vértices desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula do ponto médio e um pouco de álgebra para encontrar as coordenadas dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto médio. Se temos um segmento de reta com extremidades em (x1, y1) e (x2, y2), o ponto médio M desse segmento é dado por:
M( x1 + x22, y1 + y22 )
Isso significa que cada coordenada do ponto médio é a média das coordenadas correspondentes dos dois pontos extremos.

Passo 3

Como temos três pontos médios, isso quer dizer que cada um está no meio de um lado diferente do triângulo. Vamos chamar os vértices do triângulo de A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). Cada ponto médio estará relacionado a um par diferente de vértices.

Passo 4

Vamos associar cada ponto médio a um par de vértices. Por exemplo:
  • M1 é o ponto médio entre B e C.
  • M2 é o ponto médio entre A e C.
  • M3 é o ponto médio entre A e B.
Essas associações são arbitrárias, mas servem para organizar nossos cálculos.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do ponto médio para cada par:
Para M1(2, -1) entre B(xB, yB) e C(xC, yC):
2 = xB + xC2 Rightarrow xB + xC = 4 (1)
-1 = yB + yC2 Rightarrow yB + yC = -2 (2)
Para M2(1, -2) entre A(xA, yA) e C(xC, yC):
1 = xA + xC2 Rightarrow xA + xC = 2 (3)
-2 = yA + yC2 Rightarrow yA + yC = -4 (4)
Para M3(-1, 3) entre A(xA, yA) e B(xB, yB):
-1 = xA + xB2 Rightarrow xA + xB = -2 (5)
3 = yA + yB2 Rightarrow yA + yB = 6 (6)

Passo 6

Agora temos um sistema de seis equações:
xB + xC = 4 & (1) yB + yC = -2 & (2) xA + xC = 2 & (3) yA + yC = -4 & (4) xA + xB = -2 & (5) yA + yB = 6 & (6)
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar as coordenadas de A, B e C.

Passo 7

Vamos resolver as equações passo a passo.
Primeiro, da equação (1): xB + xC = 4, e da equação (3): xA + xC = 2.
Podemos isolar xC na equação (3):
xC = 2 - xA
Substituindo na equação (1):
xB + (2 - xA) = 4 Rightarrow xB = 4 - 2 + xA = 2 + xA (7)
Agora, da equação (5): xA + xB = -2. Substituímos xB da equação (7):
xA + (2 + xA) = -2 Rightarrow 2xA + 2 = -2 Rightarrow 2xA = -4 Rightarrow xA = -2
Agora que temos xA = -2, podemos encontrar xC:
xC = 2 - (-2) = 4
E xB:
xB = 2 + (-2) = 0

Passo 8

Agora, fazemos o mesmo para as coordenadas y.
Da equação (2): yB + yC = -2, e da equação (4): yA + yC = -4.
Isolamos yC na equação (4):
yC = -4 - yA
Substituímos na equação (2):
yB + (-4 - yA) = -2 Rightarrow yB - yA - 4 = -2 Rightarrow yB - yA = 2 (8)
Da equação (6): yA + yB = 6.
Temos agora:
yB - yA = 2 & (8) yA + yB = 6 & (6)
Somando as duas equações:
(yB - yA) + (yA + yB) = 2 + 6 Rightarrow 2yB = 8 Rightarrow yB = 4
Então, yA = 6 - yB = 6 - 4 = 2.
E yC:
yC = -4 - yA = -4 - 2 = -6

Resposta

Os vértices do triângulo são:
A(-2, 2), B(0, 4) e C(4, -6)

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