São dados e pontos médios dos lados de um triângulo. Encontre os vértices desse triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos que são os pontos médios dos lados de um triângulo: , e . Nosso objetivo é descobrir onde ficam os vértices desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula do ponto médio e um pouco de álgebra para encontrar as coordenadas dos vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto médio. Se temos um segmento de reta com extremidades em e , o ponto médio desse segmento é dado por:
Isso significa que cada coordenada do ponto médio é a média das coordenadas correspondentes dos dois pontos extremos.
Passo 3
Como temos três pontos médios, isso quer dizer que cada um está no meio de um lado diferente do triângulo. Vamos chamar os vértices do triângulo de , e . Cada ponto médio estará relacionado a um par diferente de vértices.
Passo 4
Vamos associar cada ponto médio a um par de vértices. Por exemplo:
é o ponto médio entre e .
é o ponto médio entre e .
é o ponto médio entre e .
Essas associações são arbitrárias, mas servem para organizar nossos cálculos.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do ponto médio para cada par:
Para entre e :
Para entre e :
Para entre e :
Passo 6
Agora temos um sistema de seis equações:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar as coordenadas de A, B e C.
Passo 7
Vamos resolver as equações passo a passo.
Primeiro, da equação (1): xB + xC = 4, e da equação (3): xA + xC = 2.
Podemos isolar xC na equação (3):
xC = 2 - xA
Substituindo na equação (1):
xB + (2 - xA) = 4 Rightarrow xB = 4 - 2 + xA = 2 + xA (7)
Agora, da equação (5): xA + xB = -2. Substituímos xB da equação (7):