Determinar o ângulo formado pelos vetores v e quando o espaço gira em torno do eixo dos de um ânguio , nos seguinies casos:
a)
b) e
c) e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ângulo entre o vetor e sua imagem após uma rotação no espaço em torno do eixo dos por um ângulo . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a transformação de rotação e o cálculo do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como funciona a rotação de um vetor no espaço. Quando rotacionamos um vetor em torno do eixo dos por um ângulo , as componentes e mudam conforme a seguinte matriz de rotação:
[
T(v) =
\cdot T(v)
v
]
Portanto, a imagem T(v) = (vx costheta - vy sintheta, vx sintheta + vy costheta, vz) do vetor após a rotação é:
Passo 3
Para encontrar o ângulo alpha entre os vetores v e T(v), usamos a fórmula do produto escalar:
v cdot T(v) = |v| |T(v)| cosalpha
Como a rotação preserva o comprimento do vetor, temos |v| = |T(v)|. Portanto, podemos simplificar a equação para:
cosalpha = v cdot T(v)|v|^2
E assim, o ângulo alpha é dado por:
alpha = arccos( v cdot T(v)|v|^2 )
Passo 4
Agora, vamos aplicar esses conceitos para cada caso específico:
a) v = (raiz22, raiz22, 1) e theta = 180^circ
Primeiro, calculamos T(v):
T(v) = ( raiz22 cos 180^circ - raiz22 sin 180^circ, raiz22 sin 180^circ + raiz22 cos 180^circ, 1 )
Sabemos que cos 180^circ = -1 e sin 180^circ = 0, então:
T(v) = ( raiz22 times (-1) - raiz22 times 0, raiz22 times 0 + raiz22 times (-1), 1 ) = ( -raiz22, -raiz22, 1 )
Agora, calculamos o produto escalar v cdot T(v):
v cdot T(v) = (raiz22) times (-raiz22) + (raiz22) times (-raiz22) + 1 times 1 = -24 - 24 + 1 = -12 - 12 + 1 = 0