Determinar o ângulo alpha formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ânguio theta, nos seguinies casos:
a) v=(raiz22, raiz22, 1) theta=180^circ
b) v=(raiz32 raiz2, raiz24, raiz22) e theta=180^circ
c) v=(raiz32 raiz2, raiz24, raiz22) e A=60^circ

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ângulo alpha entre o vetor v e sua imagem T(v) após uma rotação no espaço em torno do eixo dos z por um ângulo theta. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a transformação de rotação e o cálculo do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como funciona a rotação de um vetor no espaço. Quando rotacionamos um vetor v = (vx, vy, vz) em torno do eixo dos z por um ângulo theta, as componentes x e y mudam conforme a seguinte matriz de rotação:

[
T(v) = T(v) = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1 cdot vx vy vz = vx costheta - vy sintheta vx sintheta + vy costheta vz
\cdot
T(v)

v
]
Portanto, a imagem T(v) = (vx costheta - vy sintheta, vx sintheta + vy costheta, vz) do vetor após a rotação é:

Passo 3

Para encontrar o ângulo alpha entre os vetores v e T(v), usamos a fórmula do produto escalar:
v cdot T(v) = |v| |T(v)| cosalpha
Como a rotação preserva o comprimento do vetor, temos |v| = |T(v)|. Portanto, podemos simplificar a equação para:
cosalpha = v cdot T(v)|v|^2
E assim, o ângulo alpha é dado por:
alpha = arccos( v cdot T(v)|v|^2 )

Passo 4

Agora, vamos aplicar esses conceitos para cada caso específico:

a) v = (raiz22, raiz22, 1) e theta = 180^circ

Primeiro, calculamos T(v):
T(v) = ( raiz22 cos 180^circ - raiz22 sin 180^circ, raiz22 sin 180^circ + raiz22 cos 180^circ, 1 )
Sabemos que cos 180^circ = -1 e sin 180^circ = 0, então:
T(v) = ( raiz22 times (-1) - raiz22 times 0, raiz22 times 0 + raiz22 times (-1), 1 ) = ( -raiz22, -raiz22, 1 )
Agora, calculamos o produto escalar v cdot T(v):
v cdot T(v) = (raiz22) times (-raiz22) + (raiz22) times (-raiz22) + 1 times 1 = -24 - 24 + 1 = -12 - 12 + 1 = 0
O comprimento de v é:
|v| = raiz(raiz22)^2 + (raiz22)^2 + 1^2 = raiz24 + 24 + 1 = raiz1 + 1 = raiz2
Então:
cosalpha = 02 = 0 implies alpha = 90^circ

Passo 5

b) v = (raiz32 raiz2, raiz24, raiz22) e theta = 180^circ

Calculamos T(v):
T(v) = ( raiz32 raiz2 times (-1) - raiz24 times 0, raiz32 raiz2 times 0 + raiz24 times (-1), raiz22 ) = ( -raiz32 raiz2, -raiz24, raiz22 )
Produto escalar v cdot T(v):
v cdot T(v) = (raiz32 raiz2) times (-raiz32 raiz2) + (raiz24) times (-raiz24) + (raiz22) times raiz22
= -38 - 216 + 24 = -38 - 18 + 12 = -48 + 48 = 0
O comprimento de v:
|v| = raiz(raiz32 raiz2)^2 + (raiz24)^2 + (raiz22)^2 = raiz38 + 216 + 24 = raiz38 + 18 + 48 = raiz1 = 1
Então:
cosalpha = 01 = 0 implies alpha = 90^circ

Passo 6

c) v = (raiz32 raiz2, raiz24, raiz22) e A = 60^circ

Aqui, temos uma rotação de 60^circ ao invés de 180^circ. Calculamos T(v):
T(v) = ( raiz32 raiz2 cos 60^circ - raiz24 sin 60^circ, raiz32 raiz2 sin 60^circ + raiz24 cos 60^circ, raiz22 )
Sabemos que cos 60^circ = 12 e sin 60^circ = raiz32:
T(v) = ( raiz32 raiz2 times 12 - raiz24 times raiz32, raiz32 raiz2 times raiz32 + raiz24 times 12, raiz22 )
= ( raiz34 raiz2 - raiz68, 34 raiz2 + raiz28, raiz22 )
Para simplificar, podemos calcular o produto escalar v cdot T(v):
v cdot T(v) = raiz32 raiz2 times (raiz34 raiz2 - raiz68) + raiz24 times (34 raiz2 + raiz28) + raiz22 times raiz22
= 38 times 2 - 316 + 316 + 116 + 24 = 316 - 316 + 316 + 116 + 12 = 416 + 816 = 1216 = 34
O comprimento de v já calculamos anteriormente e é 1. Então:
cosalpha = 3/41 = 34 implies alpha = arccos(34) approx 41,41^circ

Resposta

a) alpha = 90^circ
b) alpha = 90^circ
c) alpha approx 41,41^circ

Exercícios relacionados