Sejam A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2).
Calcule:
(a) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). A questão pede para calcular uma expressão que envolve vetores formados por esses pontos. Vamos precisar entender de vetores, produto vetorial, produto escalar e produto misto para resolver isso tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (-1-1, 1-0, 1-2) = (-2, 1, -1) , AC = C - A = (0-1, 1-0, -1-2) = (-1, 1, -3) e AD = D - A = (2-1, 0-0, -2-2) = (1, 0, -4) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 3

Agora, a expressão que precisamos calcular é:
[AB, AC, AD] - AB cdot AB
Aqui, representa o produto misto dos três vetores, que basicamente dá o volume do paralelepípedo formado por eles. E é o produto escalar de consigo mesmo, que é igual ao quadrado do comprimento do vetor .

Passo 4

Vamos calcular o produto misto [AB, AC, AD] = AB cdot (AC times AD) . O produto misto pode ser calculado fazendo o produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Vamos fazer isso:
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 5

Calculando o produto vetorial AC = (-1, 1, -3) :
AD = (1, 0, -4)
AC times AD = i & j & k -1 & 1 & -3 1 & 0 & -4
O produto vetorial é:
i(1 cdot (-4) - (-3) cdot 0) - j((-1) cdot (-4) - (-3) cdot 1) + k((-1) cdot 0 - 1 cdot 1) = -4i - (4 + 3)j -1k = (-4, -7, -1)
Calculando o determinante:
AC times AD = (-4, -7, -1)
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar AB = (-2, 1, -1) :
AC times AD = (-4, -7, -1)
(-2) cdot (-4) + 1 cdot (-7) + (-1) cdot (-1) = 8 - 7 + 1 = 2
O produto escalar é:
[AB, AC, AD] = 2
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular AB = (-2, 1, -1) :
(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é:

Passo 8

Finalmente, substituímos os valores na expressão inicial:
[AB, AC, AD] - AB cdot AB = 2 - 6 = -4

Resposta

O resultado final é .

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