Sejam A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2).
Calcule:
(a) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). A questão pede para calcular uma expressão que envolve vetores formados por esses pontos. Vamos precisar entender de vetores, produto vetorial, produto escalar e produto misto para resolver isso tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores , e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 3

Agora, a expressão que precisamos calcular é:
Aqui, representa o produto misto dos três vetores, que basicamente dá o volume do paralelepípedo formado por eles. E é o produto escalar de consigo mesmo, que é igual ao quadrado do comprimento do vetor .

Passo 4

Vamos calcular o produto misto . O produto misto pode ser calculado fazendo o produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Vamos fazer isso:
Primeiro, vamos encontrar .

Passo 5

Calculando o produto vetorial :
O produto vetorial é:
Calculando o determinante:
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :
O produto escalar é:
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular :
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é:

Passo 8

Finalmente, substituímos os valores na expressão inicial:

Resposta

O resultado final é .

Exercícios relacionados

Calcule e quando existir calcule , para as seguintes matrizes :
(a)
(b)
Dados os vetores e , determinar e .
Sejam uma base de . Sejam também e a base formada por eles. Considere o vetor . Sendo , o valor de (produto das coordenadas na base ) é:
a) -80
b) -40
c) 80
d) 20
e) -20
Determine a equação da reta que é perpendicular à reta e passa por , nos casos: reta por e .