Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). A questão pede para calcular uma expressão que envolve vetores formados por esses pontos. Vamos precisar entender de vetores, produto vetorial, produto escalar e produto misto para resolver isso tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores , AC = C - A = (0-1, 1-0, -1-2) = (-1, 1, -3) e AD = D - A = (2-1, 0-0, -2-2) = (1, 0, -4) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora, a expressão que precisamos calcular é:
[AB, AC, AD] - AB cdot AB
Aqui, representa o produto misto dos três vetores, que basicamente dá o volume do paralelepípedo formado por eles. E é o produto escalar de consigo mesmo, que é igual ao quadrado do comprimento do vetor .
Passo 4
Vamos calcular o produto misto [AB, AC, AD] = AB cdot (AC times AD) . O produto misto pode ser calculado fazendo o produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Vamos fazer isso: