Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). A questão pede para calcular uma expressão que envolve vetores formados por esses pontos. Vamos precisar entender de vetores, produto vetorial, produto escalar e produto misto para resolver isso tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores , e . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora, a expressão que precisamos calcular é:
Aqui, representa o produto misto dos três vetores, que basicamente dá o volume do paralelepípedo formado por eles. E é o produto escalar de consigo mesmo, que é igual ao quadrado do comprimento do vetor .
Passo 4
Vamos calcular o produto misto . O produto misto pode ser calculado fazendo o produto escalar de um dos vetores com o produto vetorial dos outros dois. Vamos fazer isso:
Primeiro, vamos encontrar .
Passo 5
Calculando o produto vetorial :
O produto vetorial é:
Calculando o determinante:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar :
O produto escalar é:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular :
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é:
Passo 8
Finalmente, substituímos os valores na expressão inicial: