Sejam uma base de . Sejam também e F a base formada por eles. Considere o vetor u=(7,4,-4)F. Sendo u=(a, b, c)E, o valor de a b c (produto das coordenadas na base E ) é:
a) -80
b) -40
c) 80
d) 20
e) -20
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pegando aqui. A questão fala sobre mudar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. A gente tem duas bases: a base padrão e uma base nova formada pelos vetores e . A gente precisa transformar o vetor que está na base para a base e depois calcular o produto das coordenadas desse vetor na base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para mudar as coordenadas de uma base para outra, a gente faz uma combinação linear dos vetores da nova base com os coeficientes que são as coordenadas do vetor na nova base. Aqui, o vetor u = 7f1 + 4f2 - 4f3 está dado como . Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores de f1 = 2i - 3j + 4k e f2 = 5j - 2k pelas expressões dadas na base f3 = i + 7k :
u = 7(2i - 3j + 4k) + 4(5j - 2k) - 4(i + 7k)
Substituindo na expressão de :
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
u = 14i - 21j + 28k + 20j - 8k - 4i - 28k
Passo 5
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Componente u = 10i - j - 8k :
Componente :
Componente :
Então, temos:
Passo 6
Assim, as coordenadas de na base são .
Passo 7
Por fim, vamos calcular o produto a cdot b cdot c = 10 times (-1) times (-8) = 80 :