Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
integral-infty^infty 1x^2+2 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula de integração padrão para funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 2x + 5 . Completar o quadrado ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.
x^2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)^2 + 4
Para completar o quadrado, pegamos os coeficientes de x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4 :
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, a integral fica assim:
integral-infty^infty 1(x + 1)^2 + 4 , dx
Aqui, podemos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir integral-infty^infty 1u^2 + 4 , du , então . Com isso, nossa integral fica:

Passo 4

Sabemos que a integral de integral-infty^infty 1u^2 + 4 , du = pi2 em todo o eixo real é . No nosso caso, , então .
Portanto,

Resposta

A integral converge e o seu valor é .

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