Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
integral4^5 1raiz[5](5-x)^2 d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral imprópria
integral4^5 1raiz[5](5-x)^2 , dx
Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar usar substituição e verificar se a integral converge ou não.

Passo 2

Primeiro, observe que a integral vai de 4 a 5, e a função dentro da integral tem no denominador. Quando se aproxima de 5, o denominador tende a zero, o que pode fazer a função “explodir” em infinito. Isso faz a integral ser imprópria.

Passo 3

Vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = 5 - x
Então,
du = -dx Rightarrow dx = -du
Quando , .
Quando , .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral4^5 1raiz[5](5-x)^2 , dx = integral1^0 1u^2/5 cdot (-du) = integral0^1 1u^2/5 , du
Aqui trocamos os limites de integração porque mudamos a ordem ao eliminar o negativo.

Passo 5

Agora, resolvemos a integral:
integral0^1 u^-2/5 , du
Sabemos que a integral de integral u^k , du = u^k+1k+1 + C (desde que k neq -1) é:
k + 1 = 35 neq 0
Aqui, , então:

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral0^1 u^-2/5 , du = [ u^3/53/5 ]0^1 = 53 (1^3/5 - 0^3/5) = 53 (1 - 0) = 53

Resposta

A integral converge e o seu valor é .

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