Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria de
de
até
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao estudo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e analisar se a integral converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é chamada de imprópria. Observando o intervalo de integração de
a
, percebemos que quando
se aproxima de
, o denominador
se aproxima de zero, o que faz com que a função
tenda ao infinito. Isso significa que temos uma singularidade em
, tornando a integral imprópria.
Passo 3
Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas como
, podemos reescrever
em termos de
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral
. Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
onde
é um valor que se aproxima de
pelo lado positivo (já que
e
se aproxima de
).
Passo 6
Precisamos agora avaliar o limite quando
:
Observamos que
tende ao infinito quando
se aproxima de
.
Resposta
A integral diverge, ou seja, não converge para um valor finito.
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Mostre que a área da região ilimitada sob gráfico da função
no intervalo
é infinito, mas no intervalo
é finito.
Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.