Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria de de até . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao estudo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e analisar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é chamada de imprópria. Observando o intervalo de integração de a , percebemos que quando se aproxima de , o denominador se aproxima de zero, o que faz com que a função tenda ao infinito. Isso significa que temos uma singularidade em , tornando a integral imprópria.

Passo 3

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:
Mas como , podemos reescrever em termos de :
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral . Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
onde é um valor que se aproxima de pelo lado positivo (já que e se aproxima de ).

Passo 6

Precisamos agora avaliar o limite quando :
Observamos que tende ao infinito quando se aproxima de .

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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