Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
integral1^2 1x ln ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral imprópria de de até . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente ao estudo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição e analisar se a integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é chamada de imprópria. Observando o intervalo de integração de a , percebemos que quando se aproxima de , o denominador se aproxima de zero, o que faz com que a função tenda ao infinito. Isso significa que temos uma singularidade em , tornando a integral imprópria.

Passo 3

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição. Seja:
u = ln(x)
Então, a derivada de du = 1x dx Rightarrow dx = x , du em relação a x = e^u é:
dx = e^u du
Mas como , podemos reescrever em termos de :
Substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral1^2 1x ln^2(x) dx = integralu = ln(1)^u = ln(2) 1e^u cdot u^2 cdot e^u du = integral0^ln(2) 1u^2 du
Simplificando, a integral fica:
integral0^ln(2) 1u^2 du

Passo 5

Vamos calcular a integral integral 1u^2 du = -1u + C . Sabemos que:
[ -1u ]a^ln(2) = -1ln(2) + 1a
Aplicando os limites de integração:
onde é um valor que se aproxima de pelo lado positivo (já que e se aproxima de ).

Passo 6

Precisamos agora avaliar o limite quando lima to 0^+ ( -1ln(2) + 1a ) :
Observamos que tende ao infinito quando se aproxima de .

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

Exercícios relacionados