Calcule as integrais definidas abaixo : © (1 ponto ) integralpi / 2^pi sen^8 theta cos theta d theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente substituição (ou mudança de variável) para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que a gente pode substituir para simplificar. Olha só, temos multiplicado por . Isso sugere que a gente pode usar uma substituição onde seja uma função de cuja derivada apareça na integral.

Passo 3

Vamos definir du = cos theta , dtheta . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Perfeito! Isso significa que , exatamente o que a gente tem na integral.

Passo 4

Com essa substituição, a integral original fica mais simples. Vamos substituir tudo:
integralpi / 2^pi sin^8 theta cos theta , dtheta = integralu(pi/2)^u(pi) u^8 , du
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando u = sin(pi2) = 1 :
u = sin(pi) = 0
E quando integral1^0 u^8 , du :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral simples de integral u^8 , du = u^99 + C :
u^99 |1^0 = 0^99 - 1^99 = 0 - 19 = -19
Mas como estamos lidando com uma integral definida, já podemos aplicar os limites:

Resposta

A integral é igual a .

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