Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos que calcular a integral imprópria:
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integras impróprias e frações parciais. Para resolver, vamos precisar dividir a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 3

Para encontrar e , podemos substituir valores de que simplificam a equação.
  1. Quando :
  1. Quando :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
Sabemos que a integral de é . Então:
Aplicando os limites:

Passo 5

Vamos calcular o limite quando tende ao infinito e em :
  1. Quando :
  1. Quando :
Então, a integral fica:

Resposta

A integral convergente vale .

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Calcule as integrais definidas abaixo : © ponto .