Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos que calcular a integral imprópria:
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integras impróprias e frações parciais. Para resolver, vamos precisar dividir a fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Para encontrar
e
, podemos substituir valores de
que simplificam a equação.
- Quando
:
- Quando
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
Sabemos que a integral de
é
. Então:
Aplicando os limites:
Passo 5
Vamos calcular o limite quando
tende ao infinito e em
:
- Quando
:
- Quando
:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral convergente vale
.
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Calcule as integrais definidas abaixo : ©
ponto
.