Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
integral0^infty 1(x+1)(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos que calcular a integral imprópria:
integral0^infty 1(x+1)(x+2) , dx
Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integras impróprias e frações parciais. Para resolver, vamos precisar dividir a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Queremos escrever:
1(x+1)(x+2) = Ax+1 + Bx+2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x+2) + B(x+1) , temos:
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 3

Para encontrar 1 = A(-1 + 2) + B(-1 + 1) Rightarrow 1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1 e 1 = A(-2 + 2) + B(-2 + 1) Rightarrow 1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1 , podemos substituir valores de 1(x+1)(x+2) = 1x+1 - 1x+2 que simplificam a equação.
  1. Quando :
  1. Quando :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^infty ( 1x+1 - 1x+2 ) dx = integral0^infty 1x+1 dx - integral0^infty 1x+2 dx
Sabemos que a integral de integral 1x+1 dx = ln|x+1| + C é integral 1x+2 dx = ln|x+2| + C . Então:
[ ln(x+1) - ln(x+2) ]0^infty
Aplicando os limites:

Passo 5

Vamos calcular o limite quando ln(x+1) - ln(x+2) = ln(x+1x+2) approx ln(xx) = ln(1) = 0 tende ao infinito e em ln(0+1) - ln(0+2) = ln(1) - ln(2) = 0 - ln(2) = -ln(2) :
  1. Quando 0 - (-ln(2)) = ln(2) :
  1. Quando :
Então, a integral fica:

Resposta

A integral convergente vale .

Exercícios relacionados