Calcule as seguintes integrais duplas.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o problema propôs. A gente precisa calcular:
onde a região é o retângulo definido por entre -2 e 3, e entre 4 e 5. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função de duas variáveis sobre uma região retangular. Para resolver isso, vamos usar o método de integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Como a região é um retângulo simples, podemos escolher a ordem de integração que for mais fácil. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte interna da integral, que é a integral em relação a . Note que é tratado como uma constante nessa etapa. Então, temos:
Podemos simplificar isso tirando de fora da integral, já que não depende de :

Passo 4

Vamos calcular a integral de em relação a . A antiderivada de é e a de é . Portanto:
Agora, avaliamos essa expressão de a :
Então, a integral interna ficou:

Passo 5

Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a de 4 a 5:
A gente reconhece que pode ser reescrito usando frações parciais:
Então, a integral fica:
Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Para , fazemos , então , o que resulta em .
  2. Para , fazemos , então , resultando em .
Aplicando os limites de 4 a 5:
Simplificando os valores absolutos:
Usando propriedades dos logaritmos:
Portanto, a integral final é:

Resposta

A integral dupla vale:

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Calcule as seguintes integrais duplas.
.
Utilize o Teorema do valor médio para mostrar que existe um ponto crítico para a função .
Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Calcule as seguintes integrais duplas.
.