Calcule as seguintes integrais duplas.
integral duplaR x^3+2 x1-y^2 d A, R=[-2,3] times[4,5].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o problema propôs. A gente precisa calcular:
integral duplaR x^3+2x1 - y^2 , dA,
onde a região é o retângulo definido por entre -2 e 3, e entre 4 e 5. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função de duas variáveis sobre uma região retangular. Para resolver isso, vamos usar o método de integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Como a região integraly=4^5 ( integralx=-2^3 x^3 + 2x1 - y^2 , dx ) dy é um retângulo simples, podemos escolher a ordem de integração que for mais fácil. Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte interna da integral, que é a integral em relação a integralx=-2^3 x^3 + 2x1 - y^2 , dx . Note que 11 - y^2 integralx=-2^3 (x^3 + 2x) , dx é tratado como uma constante nessa etapa. Então, temos:
Podemos simplificar isso tirando de fora da integral, já que não depende de :

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral (x^3 + 2x) , dx = x^44 + x^2 + C em relação a [ 3^44 + 3^2 ] - [ (-2)^44 + (-2)^2 ] = [ 814 + 9 ] - [ 164 + 4 ] = [ 814 + 364 ] - [ 4 + 4 ] = 1174 - 8 = 1174 - 324 = 854 . A antiderivada de 11 - y^2 cdot 854 = 854(1 - y^2) é e a de é . Portanto:
Agora, avaliamos essa expressão de a :
Então, a integral interna ficou:

Passo 5

Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a integral4^5 854(1 - y^2) , dy = 854 integral4^5 11 - y^2 , dy de 4 a 5:
11 - y^2 = 1(1 - y)(1 + y) = 12 ( 11 - y + 11 + y )
A gente reconhece que 854 cdot 12 integral4^5 ( 11 - y + 11 + y ) dy = 858 [ integral4^5 11 - y , dy + integral4^5 11 + y , dy ] pode ser reescrito usando frações parciais:
858 [ (-ln|1 - 5| + ln|1 - 4|) + (ln|1 + 5| - ln|1 + 4|) ] = 858 [ (-ln| -4 | + ln| -3 |) + (ln|6| - ln|5|) ]
Então, a integral fica:
858 [ (-ln4 + ln3) + (ln6 - ln5) ] = 858 [ ln3 - ln4 + ln6 - ln5 ]
Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Para ln3 + ln6 - ln4 - ln5 = ln(3 cdot 6) - ln(4 cdot 5) = ln(18) - ln(20) = ln(1820) = ln(910) , fazemos 858 ln(910) , então , o que resulta em .
  2. Para , fazemos , então , resultando em .
Aplicando os limites de 4 a 5:
Simplificando os valores absolutos:
Usando propriedades dos logaritmos:
Portanto, a integral final é:

Resposta

A integral dupla vale:
858 ln(910)

Exercícios relacionados