Calcule as seguintes integrais duplas.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o problema propôs. A gente precisa calcular:
onde a região
é o retângulo definido por
entre -2 e 3, e
entre 4 e 5. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, especificamente integrando uma função de duas variáveis sobre uma região retangular. Para resolver isso, vamos usar o método de integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Como a região
é um retângulo simples, podemos escolher a ordem de integração que for mais fácil. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte interna da integral, que é a integral em relação a
. Note que
é tratado como uma constante nessa etapa. Então, temos:
Podemos simplificar isso tirando
de fora da integral, já que não depende de
:
Passo 4
Vamos calcular a integral de
em relação a
. A antiderivada de
é
e a de
é
. Portanto:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Então, a integral interna ficou:
Passo 5
Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a
de 4 a 5:
A gente reconhece que
pode ser reescrito usando frações parciais:
Então, a integral fica:
Vamos calcular cada integral separadamente:
-
Para
, fazemos , então , o que resulta em . -
Para
, fazemos , então , resultando em .
Aplicando os limites de 4 a 5:
Simplificando os valores absolutos:
Usando propriedades dos logaritmos:
Portanto, a integral final é:
Resposta
A integral dupla vale:
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.
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para a função
.
Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
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.