Calcule as seguintes integrais duplas.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a região
. Isso faz parte do assunto de Cálculo, especificamente de Integrais Duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla sobre uma região retangular e depois calcular as integrais internas e externas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Isso significa que
varia de 0 a 1 e
varia de 1 a 2. Como a região é um retângulo alinhado com os eixos, podemos configurar a integral dupla como uma iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui, tratamos
como uma constante porque estamos integrando em relação a
. Vamos integrar termo a termo:
Calculando cada uma:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a
:
Novamente, integramos termo a termo:
Calculando cada uma:
Somando os resultados:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
é igual a
.