Calcule as seguintes integrais duplas.
integral duplaR x^2+y^2 d A, R=[0,1] times[1,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região . Isso faz parte do assunto de Cálculo, especificamente de Integrais Duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla sobre uma região retangular e depois calcular as integrais internas e externas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Isso significa que varia de 0 a 1 e varia de 1 a 2. Como a região é um retângulo alinhado com os eixos, podemos configurar a integral dupla como uma iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a integraly=1^2 integralx=0^1 (x^2 + y^2) , dx , dy e depois em relação a . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^1 (x^2 + y^2) , dx :
integral0^1 x^2 , dx + integral0^1 y^2 , dx
Aqui, tratamos integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13 como uma constante porque estamos integrando em relação a integral0^1 y^2 , dx = y^2 integral0^1 dx = y^2 [x]0^1 = y^2 (1 - 0) = y^2 . Vamos integrar termo a termo:
13 + y^2
Calculando cada uma:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral1^2 ( 13 + y^2 ) , dy :
integral1^2 13 , dy + integral1^2 y^2 , dy
Novamente, integramos termo a termo:
integral1^2 13 , dy = 13 integral1^2 dy = 13 [y]1^2 = 13 (2 - 1) = 13
Calculando cada uma:
integral1^2 y^2 , dy = [ y^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73
13 + 73 = 83
Somando os resultados:

Resposta

A integral dupla sobre a região é igual a .

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