Calcule as seguintes integrais duplas.
integral duplaD x y d A, D=(x, y) in R^2: x^2+4 y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , onde é definida pela inequação . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas e mudanças de variáveis. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para essa região e aplicar as propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A inequação descreve uma elipse centrada na origem. Para facilitar a integração, é útil fazer uma mudança de coordenadas que transforme essa elipse em um círculo. Podemos fazer isso substituindo por , já que o coeficiente de é 4 (que é ).

Passo 3

Vamos definir a mudança de variáveis:
u = x v = 2y
Com isso, a equação da elipse se torna:
u^2 + v^2 <= 1
Agora, a região transformada em é um círculo de raio 1.

Passo 4

Ao fazer essa mudança de variáveis, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar a área diferencial J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v . O jacobiano partial xpartial u = 1, partial xpartial v = 0 partial ypartial u = 0, partial ypartial v = 12 é dado por:
J = 1 & 0 0 & 12 = 1 cdot 12 - 0 cdot 0 = 12
Como e , temos:
Então,
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos expressar a função x cdot y = u cdot v2 = u v2 em termos de integral duplaD x y , dA = integral duplau^2 + v^2 <= 1 u v2 cdot 12 , du , dv = integral duplau^2 + v^2 <= 1 u v4 , du , dv e :
Então, a integral original fica:

Passo 6

Observamos que a função é uma função ímpar em relação a e , e estamos integrando sobre um círculo simétrico em relação aos eixos. Quando integramos uma função ímpar sobre uma região simétrica, o resultado é zero, porque as partes positivas e negativas se cancelam.

Passo 7

Portanto, a integral dupla resulta em zero:
integral duplaD x y , dA = 0

Resposta

A integral dupla é igual a zero.

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