Calcule as seguintes integrais duplas.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , onde é definida pela inequação . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas e mudanças de variáveis. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para essa região e aplicar as propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A inequação descreve uma elipse centrada na origem. Para facilitar a integração, é útil fazer uma mudança de coordenadas que transforme essa elipse em um círculo. Podemos fazer isso substituindo por , já que o coeficiente de é 4 (que é ).

Passo 3

Vamos definir a mudança de variáveis:
Com isso, a equação da elipse se torna:
Agora, a região transformada em é um círculo de raio 1.

Passo 4

Ao fazer essa mudança de variáveis, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar a área diferencial . O jacobiano é dado por:
Como e , temos:
Então,
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos expressar a função em termos de e :
Então, a integral original fica:

Passo 6

Observamos que a função é uma função ímpar em relação a e , e estamos integrando sobre um círculo simétrico em relação aos eixos. Quando integramos uma função ímpar sobre uma região simétrica, o resultado é zero, porque as partes positivas e negativas se cancelam.

Passo 7

Portanto, a integral dupla resulta em zero:

Resposta

A integral dupla é igual a zero.

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.
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