Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , onde é definida pela inequação . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas e mudanças de variáveis. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para essa região e aplicar as propriedades das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A inequação descreve uma elipse centrada na origem. Para facilitar a integração, é útil fazer uma mudança de coordenadas que transforme essa elipse em um círculo. Podemos fazer isso substituindo por , já que o coeficiente de é 4 (que é ).
Passo 3
Vamos definir a mudança de variáveis:
Com isso, a equação da elipse se torna:
Agora, a região transformada em é um círculo de raio 1.
Passo 4
Ao fazer essa mudança de variáveis, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar a área diferencial . O jacobiano é dado por:
Como e , temos:
Então,
Portanto, .
Passo 5
Agora, vamos expressar a função em termos de e :
Então, a integral original fica:
Passo 6
Observamos que a função é uma função ímpar em relação a e , e estamos integrando sobre um círculo simétrico em relação aos eixos. Quando integramos uma função ímpar sobre uma região simétrica, o resultado é zero, porque as partes positivas e negativas se cancelam.