Mostre que a área da região ilimitada sob gráfico da função no intervalo é infinito, mas no intervalo é finito.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para mostrar que a área sob o gráfico da função no intervalo é infinita, mas no intervalo é finita. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a análise de integrais impróprias para determinar se elas convergem (são finitas) ou divergem (são infinitas).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:

Passo 3

Para integrar essa função, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos expressar como:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 4

Para encontrar e , escolhemos valores que simplifiquem a equação.
Se :
Se :

Passo 5

Com os valores de e encontrados, podemos reescrever a função:

Passo 6

Agora, vamos integrar a função no intervalo :
Isso resulta em:

Passo 7

Vamos calcular os limites da integral. No limite inferior , tende a menos infinito. Isso significa que a integral no intervalo diverge para infinito.

Passo 8

Agora, vamos integrar a função no intervalo :
Isso resulta em:

Passo 9

Calculando os limites:
  • No limite superior , tende a que tende a .
  • No limite inferior :
Portanto, a área no intervalo é finita.

Resposta

A área sob o gráfico da função no intervalo é infinita, mas no intervalo é finita.

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