Mostre que a área da região ilimitada sob gráfico da função no intervalo é infinito, mas no intervalo é finito.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para mostrar que a área sob o gráfico da função no intervalo é infinita, mas no intervalo é finita. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a análise de integrais impróprias para determinar se elas convergem (são finitas) ou divergem (são infinitas).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função . Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:
Passo 3
Para integrar essa função, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos expressar como:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos encontrar os valores de e .
Passo 4
Para encontrar e , escolhemos valores que simplifiquem a equação.
Se :
Se :
Passo 5
Com os valores de e encontrados, podemos reescrever a função:
Passo 6
Agora, vamos integrar a função no intervalo :
Isso resulta em:
Passo 7
Vamos calcular os limites da integral. No limite inferior , tende a menos infinito. Isso significa que a integral no intervalo diverge para infinito.
Passo 8
Agora, vamos integrar a função no intervalo :
Isso resulta em:
Passo 9
Calculando os limites:
No limite superior , tende a que tende a .
No limite inferior :
Portanto, a área no intervalo é finita.
Resposta
A área sob o gráfico da função no intervalo é infinita, mas no intervalo é finita.