Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
integral0^infty cos ^2(x)1+x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar a convergência da seguinte integral:
integral0^infty cos^2(x)1+x^2 , dx
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente analisando se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos usar critérios de convergência que nos ajudam a determinar o comportamento da integral sem necessariamente calculá-la completamente.

Passo 2

Vamos começar simplificando o numerador cos^2(x) = 1 + cos(2x)2 . Sabemos da identidade trigonométrica que:
integral0^infty 1 + cos(2x)21+x^2 , dx = 12 integral0^infty 1 + cos(2x)1+x^2 , dx
Então, substituindo na integral, temos:

Passo 3

Agora, separamos a integral em duas partes:
12 ( integral0^infty 11+x^2 , dx + integral0^infty cos(2x)1+x^2 , dx )
Vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente para verificar a convergência.

Passo 4

Primeira integral:
integral0^infty 11+x^2 , dx
Sabemos que esta é uma integral conhecida cujo resultado é . Portanto, esta parte converge.

Passo 5

Segunda integral:
integral0^infty cos(2x)1+x^2 , dx
Para determinar se esta integral converge, podemos usar o Critério da Integral de Dirichlet. Este critério diz que se é uma função que decresce monotonamente para zero e tem variação limitada, então a integral converge.
Aqui, que decresce para zero à medida que aumenta, e que é uma função periódica com variação limitada. Portanto, a segunda integral também converge.

Passo 6

Como ambas as integrais que compõem a original convergem, podemos concluir que a integral inteira também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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