Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar a convergência da seguinte integral:
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente analisando se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para isso, vamos usar critérios de convergência que nos ajudam a determinar o comportamento da integral sem necessariamente calculá-la completamente.
Passo 2
Vamos começar simplificando o numerador
. Sabemos da identidade trigonométrica que:
Então, substituindo na integral, temos:
Passo 3
Agora, separamos a integral em duas partes:
Vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente para verificar a convergência.
Passo 4
Primeira integral:
Sabemos que esta é uma integral conhecida cujo resultado é
. Portanto, esta parte converge.
Passo 5
Segunda integral:
Para determinar se esta integral converge, podemos usar o Critério da Integral de Dirichlet. Este critério diz que se
é uma função que decresce monotonamente para zero e
tem variação limitada, então a integral
converge.
Aqui,
que decresce para zero à medida que
aumenta, e
que é uma função periódica com variação limitada. Portanto, a segunda integral também converge.
Passo 6
Como ambas as integrais que compõem a original convergem, podemos concluir que a integral inteira também converge.
Resposta
A integral
é convergente.
Exercícios relacionados
Mostre que a área da região ilimitada sob gráfico da função
no intervalo
é infinito, mas no intervalo
é finito.
Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.
Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.