Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma integral definida de 1 até o infinito:
O que queremos saber é se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (cresce sem limite). Para isso, vamos usar o critério de comparação, que nos ajuda a comparar a integral dada com outra que sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento da função dentro da integral quando fica bem grande (tende ao infinito). Olhando para o denominador , percebemos que, para grande, o termo domina, então:
Portanto, para grande, a função dentro da integral se aproxima de:

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa integral com a integral de :
Sabemos que a integral converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então essa integral converge.

Passo 4

Como nossa função é menor ou igual a para , podemos aplicar o critério de comparação. Ou seja, se a integral de comparação converge e nossa função for menor que ela, então a nossa integral também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.