Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral definida de 1 até o infinito:
O que queremos saber é se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (cresce sem limite). Para isso, vamos usar o critério de comparação, que nos ajuda a comparar a integral dada com outra que sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento da função dentro da integral quando
fica bem grande (tende ao infinito). Olhando para o denominador
, percebemos que, para
grande, o termo
domina, então:
Portanto, para
grande, a função dentro da integral se aproxima de:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa integral com a integral de
:
Sabemos que a integral
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então essa integral converge.
Passo 4
Como nossa função
é menor ou igual a
para
, podemos aplicar o critério de comparação. Ou seja, se a integral de comparação converge e nossa função for menor que ela, então a nossa integral também converge.
Resposta
A integral é convergente.
Exercícios relacionados
Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Use o critério da convergência para determinar se a integral é convergente ou divergente.
Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Calcule aeguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes.