Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes e precisamos mostrar que ela é uma densidade de probabilidade. Além disso, precisamos calcular o valor esperado dessa distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades contínuas, como a integral de uma função densidade e o cálculo de valor esperado.

Passo 2

Primeiro, para mostrar que é uma densidade de probabilidade, precisamos verificar duas coisas:
  1. Não-negatividade: A função deve ser maior ou igual a zero para todo .
  2. Integral igual a 1: A integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1.

Passo 3

Vamos verificar a não-negatividade. Observando a função:
Claramente, para todo , , então a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de de menos infinito a mais infinito:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Passo 5

Como as duas condições para uma densidade de probabilidade são atendidas, podemos concluir que é de fato uma densidade de probabilidade.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor esperado dessa distribuição. O valor esperado de uma variável contínua é dado por:

Passo 7

Substituindo na integral:

Resposta

O valor esperado da distribuição é .

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