Mostre que as funções seguintes são densidades de probabilidades e encontre o valor esperado de cada densidade.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por partes e precisamos mostrar que ela é uma densidade de probabilidade. Além disso, precisamos calcular o valor esperado dessa distribuição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de probabilidades contínuas, como a integral de uma função densidade e o cálculo de valor esperado.
Passo 2
Primeiro, para mostrar que
é uma densidade de probabilidade, precisamos verificar duas coisas:
- Não-negatividade: A função
deve ser maior ou igual a zero para todo . - Integral igual a 1: A integral de
em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Passo 3
Vamos verificar a não-negatividade. Observando a função:
Claramente, para todo
,
, então a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
de menos infinito a mais infinito:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.
Passo 5
Como as duas condições para uma densidade de probabilidade são atendidas, podemos concluir que
é de fato uma densidade de probabilidade.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor esperado
dessa distribuição. O valor esperado de uma variável contínua é dado por:
Passo 7
Substituindo
na integral:
Resposta
O valor esperado da distribuição é
.
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