Para a transformação linear T: R^2 P3(R) tal que:
T(1,1)=x e T(-1,1)=x-x^3
Determine a transformação linear T explicitamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma transformação linear que transforma vetores do plano em polinômios de grau até 3. Precisamos usar os valores dados de e para descobrir como essa transformação funciona. Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear T(au + bv) = aT(u) + bT(v) satisfaz:
Isso significa que se conhecermos em uma base do espaço de partida ( ), conseguimos determinar para qualquer vetor.

Passo 3

Vamos expressar um vetor genérico (a, b) = c(1,1) + d(-1,1) como combinação linear dos vetores e . Para isso, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Montamos o sistema de equações para encontrar c - d = a c + d = b e 2c = a + b implies c = a + b2 :
2d = b - a implies d = b - a2
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:

Passo 5

Agora, usando a propriedade da linearidade, temos:
T(a, b) = cT(1,1) + dT(-1,1)
Substituindo os valores de T(a, b) = a + b2T(1,1) + b - a2T(-1,1) e :

Passo 6

Sabemos que:
T(1,1) = x e T(-1,1) = x - x^3
Substituindo na expressão de T(a, b) = a + b2 cdot x + b - a2 cdot (x - x^3) :
T(a, b) = a + b2x + b - a2x - b - a2x^3
Distribuindo:
T(a, b) = ( a + b2 + b - a2 ) x - b - a2x^3 = 2b2x - b - a2x^3 = b x - b - a2x^3
Simplificando os termos de T(a, b) = b x + a - b2x^3 :
Pode-se reescrever de forma mais clara:

Resposta

A transformação linear T(a, b) = b,x + a - b2,x^3 é dada por:

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