Para a transformação linear tal que:
Determine a transformação linear T explicitamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma transformação linear que transforma vetores do plano em polinômios de grau até 3. Precisamos usar os valores dados de e para descobrir como essa transformação funciona. Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade das transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma transformação linear satisfaz:
Isso significa que se conhecermos em uma base do espaço de partida ( ), conseguimos determinar para qualquer vetor.

Passo 3

Vamos expressar um vetor genérico como combinação linear dos vetores e . Para isso, queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Montamos o sistema de equações para encontrar e :
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:

Passo 5

Agora, usando a propriedade da linearidade, temos:
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Distribuindo:
Simplificando os termos de :
Pode-se reescrever de forma mais clara:

Resposta

A transformação linear é dada por:

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