Para a transformação linear
tal que:
Determine a transformação linear T explicitamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma transformação linear
que transforma vetores do plano em polinômios de grau até 3. Precisamos usar os valores dados de
e
para descobrir como essa transformação funciona. Para isso, vamos usar a propriedade da linearidade das transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma transformação linear
satisfaz:
Isso significa que se conhecermos
em uma base do espaço de partida (
), conseguimos determinar
para qualquer vetor.
Passo 3
Vamos expressar um vetor genérico
como combinação linear dos vetores
e
. Para isso, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Montamos o sistema de equações para encontrar
e
:
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:
Passo 5
Agora, usando a propriedade da linearidade, temos:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Distribuindo:
Simplificando os termos de
:
Pode-se reescrever de forma mais clara:
Resposta
A transformação linear
é dada por:
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e o ponto
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e passa pelo ponto
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e
.
Determine o ângulo entre os planos
e
.