Determine a equação do plano que contém a reta x+1-2=y-23=z+4-1 e o ponto (1,-1,2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém uma determinada reta e passa por um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores e equações de planos. Precisaremos entender como extrair vetores a partir da reta e do ponto dado para então determinar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada:
x+1-2 = y-23 = z+4-1
Essa equação está na forma simétrica, onde os denominadores d = lang<= -2, 3, -1 rang<= , e representam as componentes do vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto dado pelo exercício, que é x = -1, y = 2, z = -4 . Para encontrar o plano, precisamos de um segundo vetor que seja paralelo ao plano. Podemos obter esse vetor conectando o ponto QP = lang<= 1 - (-1), -1 - 2, 2 - (-4) rang<= = lang<= 2, -3, 6 rang<= a um ponto qualquer da reta.
Vamos escolher, por exemplo, o ponto onde a reta intercepta o eixo quando o parâmetro é zero. Na forma paramétrica da reta, temos:
Então, temos o ponto na reta. O vetor que vai de para é:

Passo 4

Agora, temos dois vetores que estão no plano: n = d times QP e n = i & j & k -2 & 3 & -1 2 & -3 & 6 = i(3 times 6 - (-1) times (-3)) - j(-2 times 6 - (-1) times 2) + k(-2 times (-3) - 3 times 2) . Para encontrar a normal do plano, precisamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n = i(18 - 3) - j(-12 - (-2)) + k(6 - 6)
Calculando o produto vetorial:
n = lang<= 15, -10, 0 rang<=

Passo 5

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 15(x - 1) - 10(y + 1) + 0(z - 2) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
15x - 15 - 10y - 10 = 0
Onde 15x - 10y - 25 = 0 , , são as componentes do vetor normal e é o ponto dado. Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano é:
15x - 10y - 25 = 0

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