Determine a equação do plano que contém a reta e o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém uma determinada reta e passa por um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores e equações de planos. Precisaremos entender como extrair vetores a partir da reta e do ponto dado para então determinar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta que foi dada:
Essa equação está na forma simétrica, onde os denominadores , e representam as componentes do vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Agora, vamos considerar o ponto dado pelo exercício, que é . Para encontrar o plano, precisamos de um segundo vetor que seja paralelo ao plano. Podemos obter esse vetor conectando o ponto a um ponto qualquer da reta.
Vamos escolher, por exemplo, o ponto onde a reta intercepta o eixo quando o parâmetro é zero. Na forma paramétrica da reta, temos:
Então, temos o ponto na reta. O vetor que vai de para é:
Passo 4
Agora, temos dois vetores que estão no plano: e . Para encontrar a normal do plano, precisamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando o produto vetorial:
Passo 5
Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 15(x - 1) - 10(y + 1) + 0(z - 2) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
15x - 15 - 10y - 10 = 0
Onde 15x - 10y - 25 = 0 , , são as componentes do vetor normal e é o ponto dado. Substituindo: