Calcule o ângulo que cada um desses vetores forma com o vetor unitário vertical .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo que alguns vetores fazem com o vetor unitário vertical . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar entre vetores, além de trigonometria para encontrar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser usado para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
e são os vetores,
e são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores,
é o ângulo entre eles.
Passo 3
No nosso caso, um dos vetores é o vetor unitário vertical . Como é unitário, sua magnitude é 1. Então, a fórmula simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada vetor que precisamos analisar. Vamos calcular o produto escalar entre o vetor dado e , depois dividir pela magnitude do vetor para encontrar . Em seguida, usamos a função arco cosseno (cos⁻¹) para encontrar o ângulo .
Passo 5
Vamos supor que temos um vetor . O produto escalar com é:
E a magnitude de é:
Então, o ângulo é:
Aplicando essa fórmula a cada vetor dado, encontramos os ângulos correspondentes.
Resposta
O ângulo que cada vetor forma com o vetor unitário vertical é dado por:
Substituindo os componentes de cada vetor na fórmula, obtemos o valor numérico específico para cada ângulo.