Calcule o ângulo que cada um desses vetores forma com o vetor unitário vertical y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o ângulo que alguns vetores fazem com o vetor unitário vertical y. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar entre vetores, além de trigonometria para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores pode ser usado para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula é:
A cdot B = |A|,|B|,cos(theta)
Onde:
  • A e B são os vetores,
  • |A| e |B| são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores,
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

No nosso caso, um dos vetores é o vetor unitário vertical y. Como é unitário, sua magnitude é 1. Então, a fórmula simplifica para:
A cdot y = |A| cdot 1 cdot cos(theta) Rightarrow cos(theta) = A cdot y|A|

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada vetor que precisamos analisar. Vamos calcular o produto escalar entre o vetor dado e y, depois dividir pela magnitude do vetor para encontrar cos(theta). Em seguida, usamos a função arco cosseno (cos⁻¹) para encontrar o ângulo theta.

Passo 5

Vamos supor que temos um vetor A = (Ax, Ay, Az). O produto escalar com y é:
A cdot y = Ay
E a magnitude de A é:
|A| = raizAx^2 + Ay^2 + Az^2
Então, o ângulo theta é:
theta = cos^-1(AyraizAx^2 + Ay^2 + Az^2)
Aplicando essa fórmula a cada vetor dado, encontramos os ângulos correspondentes.

Resposta

O ângulo que cada vetor forma com o vetor unitário vertical y é dado por:
theta = cos^-1(AyraizAx^2 + Ay^2 + Az^2)
Substituindo os componentes de cada vetor na fórmula, obtemos o valor numérico específico para cada ângulo.

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