Prove que a soma vetorial é comutativa e associativa. Exemplifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a soma de vetores é comutativa e associativa, além de dar um exemplo. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a adição de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significam as propriedades comutativa e associativa nessa operação.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a soma vetorial é comutativa. Isso significa que a ordem dos vetores não muda o resultado da soma. Ou seja, para dois vetores quaisquer u e v, temos:
u + v = v + u
Vamos verificar isso. Se u = (u₁, u₂) e v = (v₁, v₂), então:
u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)
E,
v + u = (v₁ + u₁, v₂ + u₂)
Como a adição de números reais é comutativa (u₁ + v₁ = v₁ + u₁ e u₂ + v₂ = v₂ + u₂), temos que:
u + v = v + u
Então, a soma vetorial é comutativa.

Passo 3

Agora, vamos provar que a soma vetorial é associativa. Isso quer dizer que, ao somar três vetores, o jeito de agrupar a soma não muda o resultado. Para vetores u, v e w, devemos mostrar que:
(u + v) + w = u + (v + w)
Vamos calcular cada lado. Supondo u = (u₁, u₂), v = (v₁, v₂) e w = (w₁, w₂):
Primeiro lado:
(u + v) + w = (u₁ + v₁, u₂ + v₂) + (w₁, w₂) = (u₁ + v₁ + w₁, u₂ + v₂ + w₂)
Segundo lado:
u + (v + w) = (u₁, u₂) + (v₁ + w₁, v₂ + w₂) = (u₁ + v₁ + w₁, u₂ + v₂ + w₂)
Como ambos os lados resultam no mesmo vetor, a soma vetorial é associativa.

Passo 4

Vamos agora dar um exemplo para ilustrar essas propriedades. Considere os seguintes vetores:
u = (2, 3), v = (4, -1), w = (0, 5)
Comutatividade:
Calculando u + v e v + u:
u + v = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)
v + u = (4 + 2, -1 + 3) = (6, 2)
Os resultados são iguais, mostrando que a soma é comutativa.
Associatividade:
Calculando (*u* + v) + w e *u* + (v + w):
Primeiro:
(u + v) + w = (6, 2) + (0, 5) = (6 + 0, 2 + 5) = (6, 7)
Segundo:
u + (v + w) = u + (4 + 0, -1 + 5) = (2, 3) + (4, 4) = (2 + 4, 3 + 4) = (6, 7)
Ambos os resultados são iguais, confirmando que a soma é associativa.

Resposta

Proveu-se que a soma de vetores é tanto comutativa quanto associativa, e o exemplo demonstrou essas propriedades na prática.

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