Um fio de arame de comprimento
é dobrado ao meio, formando um ângulo de
, e é suspenso pelo vértice
, oscilando como um pêndulo.
calcule o momento de inércia do pêndulo.
calcule o momento de inércia do pêndulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um fio de arame com comprimento total de
que foi dobrado ao meio, formando um ângulo de
no ponto de dobra. Esse arranjo está suspenso no ponto
e oscila como um pêndulo. O que a gente precisa calcular é o momento de inércia desse pêndulo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o momento de inércia e como calcular para sistemas com geometria específica.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. O fio de comprimento total
é dobrado ao meio, então cada metade do fio tem comprimento
. Quando ele é dobrado formando um ângulo de
, as duas partes do fio fazem esse ângulo no ponto de dobra. O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao ponto de rotação, que nesse caso é o ponto
.
Passo 3
Para calcular o momento de inércia, vamos considerar cada uma das duas partes do fio separadamente e depois somar os resultados. Isso porque o momento de inércia total de um sistema é a soma dos momentos de inércia de cada parte que o compõe.
Passo 4
Vamos precisar usar a fórmula do momento de inércia para um fio rígido que gira em torno de um ponto. A fórmula geral é:
Onde
é o momento de inércia,
é a distância de um elemento de massa
ao ponto de rotação.
Passo 5
Como o fio é uniforme, podemos dizer que sua densidade linear de massa
é constante, ou seja:
Onde
é a massa total do fio e
é o comprimento total.
Passo 6
Agora, vamos considerar uma das duas partes do fio que formam o ângulo de
. Cada parte tem comprimento
e está inclinada a
em relação à vertical (já que o ângulo total é
e dividido igualmente).
Passo 7
Para calcular o momento de inércia de uma das partes do fio, precisamos integrar ao longo do comprimento
. A distância
de cada elemento
do fio ao ponto de rotação
depende do ângulo.
Passo 8
Como cada parte está a
da vertical, podemos usar trigonometria para encontrar a distância perpendicular ao vetor posição. A distância efetiva para o momento de inércia será
, onde
varia de
a
.
Passo 9
Substituindo na fórmula do momento de inércia:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Calculando a integral:
Então:
Passo 11
Como temos duas partes do fio, o momento de inércia total será:
Passo 12
Lembrando que
, substituímos na equação:
Resposta
O momento de inércia do pêndulo é
.