Calcule
à temperatura ambiente (em torno de 300 K ) para o silício.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da densidade do silício em relação à temperatura (
) a uma temperatura ambiente de aproximadamente 300 K. Para isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e a relação entre densidade, massa e volume.
Passo 2
Sabemos que a densidade (
) é dada pela relação:
onde
é a massa e
é o volume. Quando a temperatura muda, o volume também muda devido à expansão térmica, enquanto a massa permanece constante.
Passo 3
Vamos considerar a expansão volumétrica linear, que para pequenas variações de temperatura pode ser aproximada pela equação:
onde:
-
é o volume inicial, -
é o coeficiente de expansão térmica do silício, -
é a variação de temperatura.
Passo 4
A densidade em função da temperatura fica então:
onde
é a densidade inicial.
Passo 5
Para encontrar
, vamos derivar a expressão da densidade em relação à temperatura:
Usando a regra da derivada, temos:
Passo 6
A aproximadamente
,
é pequeno, então podemos simplificar:
Isso significa que a derivada da densidade em relação à temperatura é aproximadamente igual a menos a densidade inicial vezes o coeficiente de expansão térmica.
Resposta
A derivada da densidade do silício em relação à temperatura a 300 K é aproximadamente
. Se considerarmos os valores típicos, onde
e
, então:
Portanto,
.