Calcule d rhod T à temperatura ambiente (em torno de 300 K ) para o silício.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da densidade do silício em relação à temperatura ( d rhod T) a uma temperatura ambiente de aproximadamente 300 K. Para isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e a relação entre densidade, massa e volume.

Passo 2

Sabemos que a densidade ( rho) é dada pela relação:
rho = mV
onde m é a massa e V é o volume. Quando a temperatura muda, o volume também muda devido à expansão térmica, enquanto a massa permanece constante.

Passo 3

Vamos considerar a expansão volumétrica linear, que para pequenas variações de temperatura pode ser aproximada pela equação:
V(T) = V0 (1 + alpha De
onde:
  • V0 é o volume inicial,
  • alpha é o coeficiente de expansão térmica do silício,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 4

A densidade em função da temperatura fica então:
rho(T) = mV(T) = mV0 (1 + alpha De
onde rho0 = mV0 é a densidade inicial.

Passo 5

Para encontrar d rhod T, vamos derivar a expressão da densidade em relação à temperatura:
d rhod T = dd T [ rho0 11 + alpha De
Usando a regra da derivada, temos:
d rhod T = -rho0 alpha(1 + alpha De

Passo 6

A aproximadamente 300 , K, De é pequeno, então podemos simplificar:
d rhod T approx -rho0 alpha
Isso significa que a derivada da densidade em relação à temperatura é aproximadamente igual a menos a densidade inicial vezes o coeficiente de expansão térmica.

Resposta

A derivada da densidade do silício em relação à temperatura a 300 K é aproximadamente - rho0 alpha. Se considerarmos os valores típicos, onde rho0 approx 2329 , kg/m³³ e alpha approx 2.6 times 10^-6 , K^-1, então:
d rhod T approx -2329 times 2.6 times 10^-6 approx -0.00606 , kg/(m³ cdot K) ³
Portanto, d rhod T approx -0.00606 , kg/(m³ cdot K)³.

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