Calcule à temperatura ambiente (em torno de 300 K ) para o silício.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a derivada da densidade do silício em relação à temperatura ( ) a uma temperatura ambiente de aproximadamente 300 K. Para isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e a relação entre densidade, massa e volume.

Passo 2

Sabemos que a densidade ( ) é dada pela relação:
onde é a massa e é o volume. Quando a temperatura muda, o volume também muda devido à expansão térmica, enquanto a massa permanece constante.

Passo 3

Vamos considerar a expansão volumétrica linear, que para pequenas variações de temperatura pode ser aproximada pela equação:
onde:
  • é o volume inicial,
  • é o coeficiente de expansão térmica do silício,
  • é a variação de temperatura.

Passo 4

A densidade em função da temperatura fica então:
onde é a densidade inicial.

Passo 5

Para encontrar , vamos derivar a expressão da densidade em relação à temperatura:
Usando a regra da derivada, temos:

Passo 6

A aproximadamente , é pequeno, então podemos simplificar:
Isso significa que a derivada da densidade em relação à temperatura é aproximadamente igual a menos a densidade inicial vezes o coeficiente de expansão térmica.

Resposta

A derivada da densidade do silício em relação à temperatura a 300 K é aproximadamente . Se considerarmos os valores típicos, onde ³ e , então:
³
Portanto, ³.

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