Um sistema massa mola obedece ao MHS com massa de 1 kg e T=3,14 s.
Em t=0 s a sua posição é x=0,5 cm e a sua velocidade v=-1 cm / s. Nestas condições:
Escreva a equação horária x(t)=A cos (omega t+phi) obtendo as quantidades A, omega e phi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente vai precisar entender como a posição do sistema varia com o tempo usando a equação . A gente tem os dados da massa, o período , e as condições iniciais de posição e velocidade. Vamos achar os valores de (amplitude), (frequência angular) e (fase inicial).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência angular T = 2piomega . Sabemos que o período omega = 2piT está relacionado com omega = 2pi3,14 approx 2 , rad/s pela fórmula:
Rearranjando para achar :
Substituindo s:

Passo 3

Agora, vamos usar as condições iniciais para achar x(0) = A cos(phi) = 0,5 , cm e v(t) = -A omega sin(omega t + phi) . No instante v(0) = -A omega sin(phi) = -1 , cm/s :
E a velocidade é a derivada de :
No instante :

Passo 4

Agora temos duas equações:
  1. A omega sin(phi) = 1
  2. A cdot 2 cdot sin(phi) = 1
Vamos resolver a segunda equação para sin(phi) = 12A :
Substituindo :

Passo 5

Vamos usar a identidade trigonométrica cos(phi) = 0,5A para resolver (0,5A)^2 + (12A)^2 = 1 . Sabemos que:
0,25A^2 + 14A^2 = 1
Então:
0,25 + 0,25A^2 = 1
0,5A^2 = 1
A^2 = 0,5
A = raiz0,5 approx 0,707 , cm

Passo 6

Agora que temos cos(phi) = 0,50,707 approx 0,707 , podemos achar sin(phi) = 12 cdot 0,707 approx 0,707 e :
Isso indica que ou radianos.

Resposta

A equação horária é:
x(t) = 0,707 cos(2 t + pi4) , cm

Exercícios relacionados