Calcule o ângulo e determine uma equação da reta de interseção dos seguintes planos: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa calcular o ângulo entre dois planos e encontrar a equação da reta onde esses planos se cruzam. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores normais e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos. Um vetor normal de um plano é o coeficiente das variáveis na equação do plano.
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .
Passo 3
Agora, vamos calcular o ângulo entre esses dois vetores normais, que é o mesmo ângulo entre os planos. A fórmula para o ângulo entre dois vetores e é:
Onde é o produto escalar e , são os módulos dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 5
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
Passo 6
Substituindo na fórmula do ângulo:
Passo 7
Agora, vamos achar a equação da reta de interseção dos planos. Para isso, precisamos de um ponto que pertença a ambos os planos e de um vetor diretor da reta, que é o produto vetorial dos vetores normais dos planos.
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Então, o vetor diretor é . Podemos simplificar para .
Passo 8
Agora, vamos encontrar um ponto que está em ambos os planos. Para isso, podemos resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Vamos expressar e substituir na primeira equação:
Podemos escolher , então . Substituindo em , temos .
Então, um ponto na reta de interseção é .
Passo 9
Com o vetor diretor e o ponto , a equação paramétrica da reta é:
Onde é o parâmetro.
Resposta
O ângulo entre os planos é de e a equação da reta de interseção é: