Calcule o ângulo e determine uma equação da reta de interseção dos seguintes planos: pi1: x+2 y+ z-10=0 e pi2: 2 x+y-z+1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa calcular o ângulo entre dois planos e encontrar a equação da reta onde esses planos se cruzam. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores normais e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos. Um vetor normal de um plano é o coeficiente das variáveis na equação do plano.
Para o plano pi1: x + 2y + z - 10 = 0, o vetor normal é n1 = (1, 2, 1).
Para o plano pi2: 2x + y - z + 1 = 0, o vetor normal é n2 = (2, 1, -1).

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo entre esses dois vetores normais, que é o mesmo ângulo entre os planos. A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores a e b é:
cos theta = a cdot b|a| cdot |b|
Onde a cdot b é o produto escalar e |a|, |b| são os módulos dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (1)(2) + (2)(1) + (1)(-1) = 2 + 2 - 1 = 3

Passo 5

Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|n1| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
|n2| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 6

Substituindo na fórmula do ângulo:
cos theta = 3raiz6 cdot raiz6 = 36 = 0,5
theta = arccos(0,5) = 60^circ

Passo 7

Agora, vamos achar a equação da reta de interseção dos planos. Para isso, precisamos de um ponto que pertença a ambos os planos e de um vetor diretor da reta, que é o produto vetorial dos vetores normais dos planos.
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial n1 times n2:
n1 times n2 = i & j & k 1 & 2 & 1 2 & 1 & -1 = i(2 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 1 cdot 2) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 2)
= i(-2 -1) - j(-1 -2) + k(1 -4) = i(-3) + j(3) + k(-3)
Então, o vetor diretor é d = (-3, 3, -3). Podemos simplificar para d = (-1, 1, -1).

Passo 8

Agora, vamos encontrar um ponto que está em ambos os planos. Para isso, podemos resolver o sistema de equações:
x + 2y + z = 10 2x + y - z = -1
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
x + 2y + z + 2x + y - z = 10 + (-1) 3x + 3y = 9 x + y = 3
Vamos expressar x = 3 - y e substituir na primeira equação:
(3 - y) + 2y + z = 10 3 + y + z = 10 y + z = 7
Podemos escolher y = 0, então z = 7. Substituindo y = 0 em x = 3 - y, temos x = 3.
Então, um ponto na reta de interseção é (3, 0, 7).

Passo 9

Com o vetor diretor d = (-1, 1, -1) e o ponto (3, 0, 7), a equação paramétrica da reta é:
x = 3 - t y = 0 + t z = 7 - t
Onde t é o parâmetro.

Resposta

O ângulo entre os planos é de 60^circ e a equação da reta de interseção é:
x = 3 - t y = t z = 7 - t

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