Uma florista oferece três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e crisântemos. Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três crisântemos. Cada arranjo médio contém duas rosas, quatro margaridas e seis crisântemos. Cada arranjo grande contém quatro rosas, oito margaridas e seis crisântemos. No dia de ontem, a florista notou que havia usado um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisântemos ao preparar as encomendas destes três tipos de arranjos. Quantos arranjos de cada tipo ela fez?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A florista tem três tipos de arranjos: pequeno, médio e grande. Cada tipo de arranjo usa uma certa quantidade de rosas, margaridas e crisântemos. No total, ela usou 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisântemos para fazer esses arranjos ontem. Nosso objetivo é descobrir quantos arranjos de cada tamanho ela fez.
Vamos precisar usar um pouco de sistemas de equações lineares para resolver isso, que basicamente ajuda a encontrar valores desconhecidos quando temos várias equações relacionadas entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos definir umas variáveis para facilitar:
  • = número de arranjos pequenos
  • = número de arranjos médios
  • = número de arranjos grandes
Agora, vamos traduzir a informação da quantidade de flores usadas em equações usando essas variáveis.

Passo 3

Vamos começar com as rosas. Cada arranjo pequeno usa 1 rosa, médio usa 2 e grande usa 4. Sabemos que no total foram usadas 24 rosas. Então, a primeira equação fica:

Passo 4

Agora, vamos para as margaridas. Cada arranjo pequeno usa 3 margaridas, médio usa 4 e grande usa 8. Total de margaridas usadas foi 50. A segunda equação é:

Passo 5

Por último, as crisântemos. Cada arranjo pequeno usa 3, médio usa 6 e grande também usa 6. Total de crisântemos foi 48. A terceira equação fica:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .

Passo 7

Vamos simplificar o sistema para facilitar. Observando as equações, podemos tentar eliminar uma variável. Vamos começar subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar .
Subtraindo a primeira da segunda:
Simplificando dividindo tudo por 2:
çã
Subtraindo a primeira da terceira:
Simplificando dividindo tudo por 2:
çã

Passo 8

Agora, temos um sistema menor com as Equações 4 e 5:
çãçã
Vamos eliminar subtraindo a Equação 5 da Equação 4:
çã

Passo 9

Da Equação 6, podemos isolar :
Agora, vamos substituir na Equação 5 para encontrar em termos de :
çã

Passo 10

Agora, vamos usar a Equação 7 e a expressão de na primeira equação original para encontrar o valor de .
Voltando à primeira equação:
Substituindo e :

Passo 11

Agora que temos , vamos encontrar e :
Usando :
Usando :

Resposta

A florista fez 2 arranjos pequenos, 3 arranjos médios e 4 arranjos grandes ontem.

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