Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de quádricas é representada pela equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as quádricas. Vamos precisar analisar a equação e ver como ela se comporta no espaço tridimensional para identificar e construir o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação
. Ela relaciona três variáveis:
,
e
. Essa forma geral nos indica que estamos lidando com uma superfície no espaço tridimensional chamada de “quádricas”.
Passo 3
Agora, vamos tentar simplificar ou reescrever a equação para identificar melhor a quádricas. Podemos rearranjar a equação da seguinte maneira:
Isso nos ajuda a comparar com as formas padrão das quádricas.
Passo 4
Conhecendo as formas padrão, sabemos que as quádricas podem ser elipsoides, hipérboles, paraboloides, cones, entre outras. A equação
se assemelha a uma hiperbolóide de uma folha, mas, na verdade, é uma forma especial conhecida como “cone circular”.
Passo 5
Um cone circular é uma quádricas que tem uma simetria circular ao redor de um eixo. No caso da nossa equação, o eixo de simetria é o eixo
. Isso significa que o gráfico da equação será um cone que se abre para cima e para baixo a partir da origem, formando uma forma de dupla concha.
Passo 6
Para construir o gráfico, podemos pensar em todos os pontos
que satisfazem a equação
. Se fixarmos um valor para
, por exemplo,
, teremos um círculo de raio
no plano
. Conforme
varia, esses círculos aumentam proporcionalmente, formando o cone.
Resposta
A equação
representa um cone circular de duas folhas com eixo de simetria no eixo
. O gráfico é um cone que se abre para cima e para baixo a partir da origem, formando uma forma dupla e simétrica em torno do eixo
.