Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar que tipo de quádricas é representada pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as quádricas. Vamos precisar analisar a equação e ver como ela se comporta no espaço tridimensional para identificar e construir o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação . Ela relaciona três variáveis: , e . Essa forma geral nos indica que estamos lidando com uma superfície no espaço tridimensional chamada de “quádricas”.

Passo 3

Agora, vamos tentar simplificar ou reescrever a equação para identificar melhor a quádricas. Podemos rearranjar a equação da seguinte maneira:
Isso nos ajuda a comparar com as formas padrão das quádricas.

Passo 4

Conhecendo as formas padrão, sabemos que as quádricas podem ser elipsoides, hipérboles, paraboloides, cones, entre outras. A equação se assemelha a uma hiperbolóide de uma folha, mas, na verdade, é uma forma especial conhecida como “cone circular”.

Passo 5

Um cone circular é uma quádricas que tem uma simetria circular ao redor de um eixo. No caso da nossa equação, o eixo de simetria é o eixo . Isso significa que o gráfico da equação será um cone que se abre para cima e para baixo a partir da origem, formando uma forma de dupla concha.

Passo 6

Para construir o gráfico, podemos pensar em todos os pontos que satisfazem a equação . Se fixarmos um valor para , por exemplo, , teremos um círculo de raio no plano . Conforme varia, esses círculos aumentam proporcionalmente, formando o cone.

Resposta

A equação representa um cone circular de duas folhas com eixo de simetria no eixo . O gráfico é um cone que se abre para cima e para baixo a partir da origem, formando uma forma dupla e simétrica em torno do eixo .

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