Calcule o ângulo formado por dois vetores de módulos 5 unidades e 6 unidades e cujo vetor resultante tem módulo raiz de 61 unidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o ângulo entre dois vetores que têm comprimentos (ou módulos) de 5 unidades e 6 unidades. Além disso, sabe-se que o vetor resultante da soma desses dois vetores tem módulo igual à raiz quadrada de 61 unidades. Para resolver isso, vamos usar a trigonometria dos vetores, especificamente a fórmula que relaciona os módulos dos vetores, o ângulo entre eles e o módulo do vetor resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que liga os módulos de dois vetores, o ângulo entre eles e o módulo da soma desses vetores. A fórmula é:
Aqui, $ | \vec{A} | $ e $ | \vec{B} | $ são os módulos dos vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $, respectivamente, e $ \theta $ é o ângulo entre eles.
Passo 3
Vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que:
- $ | \vec{A} | = 5 $ unidades
- $ | \vec{B} | = 6 $ unidades
- $ | \vec{A} + \vec{B} | = \sqrt{61} $ unidades
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar os quadrados e as multiplicações:
Agora, somamos 25 e 36:
Passo 5
Para encontrar $ \cos(\theta) $, vamos isolar essa parte da equação. Subtraímos 61 de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, dividimos ambos os lados por 60 para resolver para $ \cos(\theta) $:
Então:
Passo 7
Sabemos que o cosseno de 90 graus é 0. Portanto, o ângulo $ \theta $ que satisfaz essa condição é:
Resposta
O ângulo formado pelos dois vetores é de 90 graus.