Calcule o ângulo formado por dois vetores de módulos 5 unidades e 6 unidades e cujo vetor resultante tem módulo raiz de 61 unidades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o ângulo entre dois vetores que têm comprimentos (ou módulos) de 5 unidades e 6 unidades. Além disso, sabe-se que o vetor resultante da soma desses dois vetores tem módulo igual à raiz quadrada de 61 unidades. Para resolver isso, vamos usar a trigonometria dos vetores, especificamente a fórmula que relaciona os módulos dos vetores, o ângulo entre eles e o módulo do vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que liga os módulos de dois vetores, o ângulo entre eles e o módulo da soma desses vetores. A fórmula é:
| A + B |^2 = | A |^2 + | B |^2 + 2 | A | | B | cos(theta)
Aqui, $ | \vec{A} | $ e $ | \vec{B} | $ são os módulos dos vetores $ \vec{A} $ e $ \vec{B} $, respectivamente, e $ \theta $ é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula. Sabemos que:
  • $ | \vec{A} | = 5 $ unidades
  • $ | \vec{B} | = 6 $ unidades
  • $ | \vec{A} + \vec{B} | = \sqrt{61} $ unidades
Substituindo esses valores na fórmula:
| A | = 5

Passo 4

Vamos simplificar os quadrados e as multiplicações:
61 = 25 + 36 + 60 cos(theta)
Agora, somamos 25 e 36:
61 = 61 + 60 cos(theta)

Passo 5

Para encontrar $ \cos(\theta) $, vamos isolar essa parte da equação. Subtraímos 61 de ambos os lados:
cos(theta)
Isso simplifica para:
61 - 61 = 60 cos(theta)

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por 60 para resolver para $ \cos(\theta) $:
cos(theta)
Então:
cos(theta) = 060

Passo 7

Sabemos que o cosseno de 90 graus é 0. Portanto, o ângulo $ \theta $ que satisfaz essa condição é:
theta

Resposta

O ângulo formado pelos dois vetores é de 90 graus.

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