Calcule a distância entre as retas
r:llc y & = & x+2 z & = & -x+1
e
s: x & =-1+t y & =2-t z & =-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional e precisa calcular a distância entre elas. As retas são dadas por:
r:llc y & = & x+2 z & = & -x+1
e
s: x & = -1 + t y & = 2 - t z & = -t
Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço para resolver isso. Precisamos entender as equações das retas, encontrar vetores diretores e usar a fórmula da distância entre retas que não são paralelas nem se intersectam (retas paralelas ou coincidentes).

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as duas retas na forma paramétrica, ou seja, expressando x, y e z em função de um parâmetro.
Para a reta x = t y = t + 2 z = -t + 1 , podemos considerar que r(t) = 0 2 1 + t 1 1 -1 . Então:
1 1 -1
Então, a reta pode ser descrita como:
Aqui, o ponto é um ponto da reta e o vetor é o vetor diretor de .

Passo 3

Já para a reta x = -1 + t y = 2 - t z = -t , ela já está na forma paramétrica:
s(t) = -1 2 0 + t 1 -1 -1
Então, a reta 1 -1 -1 pode ser escrita como:
Aqui, o ponto é um ponto da reta e o vetor é o vetor diretor de .

Passo 4

Agora, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre duas retas no espaço. Se as retas não são paralelas e nem se intersectam, elas são chamadas de “retas gerais” e a distância entre elas pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
d = |d1 times d2 cdot (p2 - p1)||d1 times d2|
Onde:
  • e são os vetores diretores das retas e , respectivamente.
  • e são pontos quaisquer das retas e , respectivamente.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.
Vamos aplicar isso aqui!

Passo 5

Primeiro, identificamos os vetores diretores e os pontos das retas:
  • Para a reta 1 1 -1 :
    • Vetor diretor 0 2 1
    • Ponto 1 -1 -1
  • Para a reta -1 2 0 :
    • Vetor diretor
    • Ponto

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial d1 times d2 = i & j & k 1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 :
d1 times d2 = i(1 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)) - j(1 cdot (-1) - (-1) cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1)
Calculando o determinante:
= i(-1 - 1) - j(-1 - (-1)) + k(-1 - 1)
= -2i - 0j -2k
d1 times d2 = -2 0 -2
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular a diferença entre os pontos p2 - p1 = -1 2 0 - 0 2 1 = -1 0 -1 :

Passo 8

Em seguida, calculamos o produto escalar -2 0 -2 cdot -1 0 -1 = (-2)(-1) + (0)(0) + (-2)(-1) = 2 + 0 + 2 = 4 :
O valor absoluto desse produto escalar é .

Passo 9

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial |d1 times d2| = raiz(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz4 + 0 + 4 = raiz8 = 2raiz2 :

Passo 10

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = |d1 times d2 cdot (p2 - p1)||d1 times d2| = 42raiz2 = 2raiz2 = raiz2

Resposta

A distância entre as retas e é igual a unidades.

Exercícios relacionados

Defina espaço vetorial sobre R.
Calcule o ângulo formado pelas retas
& r:llc x & = & 3-t y & = & t z & = & -1-2 t & s:ccc x & = & -2-2 t y & = & 3+t z & = & t
e
No R^2 definimos a adição por (x1, y1)+(x1, y1)=(0, y1-y2) e a multiplicação por escalar como a(x, y)=(a x, a y), para todo a in R. Nessas condições V é espaço vetorial sobre R ? Justifique.
Sejam u=(3,-4), v=(2,5). Determine
© (u+v) cdot(u-v)