Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional e precisa calcular a distância entre elas. As retas são dadas por:
r:llc y & = & x+2 z & = & -x+1
e
s: x & = -1 + t y & = 2 - t z & = -t
Vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço para resolver isso. Precisamos entender as equações das retas, encontrar vetores diretores e usar a fórmula da distância entre retas que não são paralelas nem se intersectam (retas paralelas ou coincidentes).
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as duas retas na forma paramétrica, ou seja, expressando x, y e z em função de um parâmetro.
Para a reta x = t y = t + 2 z = -t + 1 , podemos considerar que r(t) = 0 2 1 + t 1 1 -1 . Então:
1 1 -1
Então, a reta pode ser descrita como:
Aqui, o ponto é um ponto da reta e o vetor é o vetor diretor de .
Passo 3
Já para a reta x = -1 + t y = 2 - t z = -t , ela já está na forma paramétrica:
s(t) = -1 2 0 + t 1 -1 -1
Então, a reta 1 -1 -1 pode ser escrita como:
Aqui, o ponto é um ponto da reta e o vetor é o vetor diretor de .
Passo 4
Agora, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre duas retas no espaço. Se as retas não são paralelas e nem se intersectam, elas são chamadas de “retas gerais” e a distância entre elas pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
d = |d1 times d2 cdot (p2 - p1)||d1 times d2|
Onde:
e são os vetores diretores das retas e , respectivamente.
e são pontos quaisquer das retas e , respectivamente.
representa o produto vetorial.
representa o produto escalar.
Vamos aplicar isso aqui!
Passo 5
Primeiro, identificamos os vetores diretores e os pontos das retas:
Para a reta 1 1 -1 :
Vetor diretor 0 2 1
Ponto 1 -1 -1
Para a reta -1 2 0 :
Vetor diretor
Ponto
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial d1 times d2 = i & j & k 1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 :