Calcule o ângulo de incidência do feixe de radiação solar às 14:00 (2 PM) no tempo solar (TSV) no dia 20 de janeiro, na latitude 35^circ N, considerando as seguintes orientações de uma superficie:
(a) Horizontal;
(b) Inclinado para o sul na inclinação de 40^circ;
© Na inclinação de 40^circ, mas de frente para 25^circ Sudoeste;
(d) Vertical, voltado para o Sul;
(e) Vertical, de frente para Oeste.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o ângulo de incidência da radiação solar às 14:00 no dia 20 de janeiro, na latitude de 35^circ N. Vamos usar conceitos de geometria solar, como o ângulo de incidência, que depende da posição do sol no céu e da orientação da superfície. Precisaremos entender como determinar a posição do sol em um dado momento e como isso afeta o ângulo com que os raios solares atingem diferentes superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a posição do sol no céu às 14:00 no dia 20 de janeiro na latitude de 35^circ N. Para isso, precisamos calcular a declinação solar e o ângulo horário.
A declinação solar ( de) é a posição angular do sol em relação ao equador celeste e varia ao longo do ano. Em 20 de janeiro, perto do solstício de inverno no Hemisfério Norte, a declinação solar é aproximadamente -23.44^circ.
O ângulo horário ( H) mede o deslocamento do sol a partir do meio-dia solar. Como são 14:00, uma hora após o meio-dia, e cada hora corresponde a 15^circ, o ângulo horário é 15^circ.

Passo 3

Com a declinação solar e o ângulo horário, podemos calcular a elevação solar ( alpha) usando a seguinte fórmula:
sin(alpha) = sin(phi) sin(de
Onde:
  • phi é a latitude ( 35^circ)
  • de é a declinação solar ( -23.44^circ)
  • H é o ângulo horário ( 15^circ)
Vamos substituir os valores na fórmula:
sin(alpha) = sin(35^circ) sin(-23.44^circ) + cos(35^circ) cos(-23.44^circ) cos(15^circ)

Passo 4

Calculando cada parte:
  • sin(35^circ) approx 0.5736
  • sin(-23.44^circ) approx -0.3987
  • cos(35^circ) approx 0.8192
  • cos(-23.44^circ) = cos(23.44^circ) approx 0.9180
  • cos(15^circ) approx 0.9659
Agora, multiplicamos:
0.5736 times (-0.3987) approx -0.2284
0.8192 times 0.9180 times 0.9659 approx 0.7236
Somando os dois resultados:
-0.2284 + 0.7236 = 0.4952
Então,
sin(alpha) = 0.4952

Passo 5

Agora, para encontrar a elevação solar ( alpha), tiramos o arco seno de 0.4952:
alpha = arcsin(0.4952) approx 29.6^circ
Isso significa que o sol está a aproximadamente 29.6^circ acima do horizonte às 14:00 nesse dia e local.

Passo 6

Com a elevação solar conhecida, podemos calcular a azimute solar ( Az), que é a direção horizontal do sol. A fórmula para o azimute, quando o sol está a oeste do sul, é:
Az = 180^circ - arctan(sin(H)cos(H) sin(phi) - tan(alpha) cos(phi))
Substituindo os valores:
Az = 180^circ - arctan(sin(15^circ)cos(15^circ) sin(35^circ) - tan(29.6^circ) cos(35^circ))

Passo 7

Calculando cada parte:
  • sin(15^circ) approx 0.2588
  • cos(15^circ) approx 0.9659
  • sin(35^circ) approx 0.5736
  • tan(29.6^circ) approx 0.5663
  • cos(35^circ) approx 0.8192
Agora:
cos(15^circ) sin(35^circ) approx 0.9659 times 0.5736 approx 0.5529
tan(29.6^circ) cos(35^circ) approx 0.5663 times 0.8192 approx 0.4638
Subtraindo:
0.5529 - 0.4638 = 0.0891
Então:
Az = 180^circ - arctan(0.25880.0891) approx 180^circ - 70^circ = 110^circ
Isso indica que o azimute solar é de 110^circ, ou seja, o sol está a 20^circ a oeste do sul.

Passo 8

Agora que temos a elevação solar ( alpha approx 29.6^circ) e o azimute solar ( Az approx 110^circ), podemos calcular o ângulo de incidência ( thetai) para cada orientação da superfície.
A fórmula geral para o ângulo de incidência é:
cos(thetai) = sin(alpha) cos(beta) + cos(alpha) sin(beta) cos(gamma - Az)
Onde:
  • beta é a inclinação da superfície em relação ao horizonte
  • gamma é o azimute da superfície

Passo 9

Vamos aplicar essa fórmula para cada caso:

(a) Superfície Horizontal

Para uma superfície horizontal, a inclinação beta = 0^circ.
Substituindo na fórmula:
cos(thetai) = sin(29.6^circ) cos(0^circ) + cos(29.6^circ) sin(0^circ) cos(gamma - 110^circ)
Simplificando:
cos(thetai) = sin(29.6^circ) times 1 + cos(29.6^circ) times 0 times cos(gamma - 110^circ) = sin(29.6^circ) approx 0.4952
Então:
thetai = arccos(0.4952) approx 60.4^circ

Passo 10

(b) Superfície Inclinado para o Sul com Inclinação de 40^circ

Aqui, a inclinação beta = 40^circ e o azimute da superfície gamma = 180^circ (sul).
Substituindo na fórmula:
cos(thetai) = sin(29.6^circ) cos(40^circ) + cos(29.6^circ) sin(40^circ) cos(180^circ - 110^circ)
Calculando:
  • cos(40^circ) approx 0.7660
  • sin(40^circ) approx 0.6428
  • cos(70^circ) approx 0.3420
Então:
cos(thetai) = 0.4952 times 0.7660 + 0.8704 times 0.6428 times 0.3420 approx 0.3793 + 0.1903 = 0.5696
Portanto:
thetai = arccos(0.5696) approx 55.3^circ

Passo 11

© Superfície Inclinado 40^circ, de Frente para 25^circ Sudoeste

Aqui, beta = 40^circ e gamma = 225^circ (25° sudoeste).
Substituindo:
cos(thetai) = sin(29.6^circ) cos(40^circ) + cos(29.6^circ) sin(40^circ) cos(225^circ - 110^circ) = cos(115^circ)
Calculando:
225^circ - 110^circ = 115^circ
cos(115^circ) approx -0.4226
Então:
cos(thetai) = 0.4952 times 0.7660 + 0.8704 times 0.6428 times (-0.4226) approx 0.3793 - 0.2354 = 0.1439
Portanto:
thetai = arccos(0.1439) approx 81.8^circ

Passo 12

(d) Superfície Vertical Voltada para o Sul

Para uma superfície vertical voltada para o sul, beta = 90^circ e gamma = 180^circ.
Substituindo na fórmula:
cos(thetai) = sin(29.6^circ) cos(90^circ) + cos(29.6^circ) sin(90^circ) cos(180^circ - 110^circ)
Simplificando:
cos(thetai) = 0 + cos(29.6^circ) times 1 times cos(70^circ) approx 0.8704 times 0.3420 approx 0.2970
Então:
thetai = arccos(0.2970) approx 72.5^circ

Passo 13

(e) Superfície Vertical de Frente para o Oeste

Aqui, beta = 90^circ e gamma = 270^circ.
Substituindo:
cos(thetai) = sin(29.6^circ) cos(90^circ) + cos(29.6^circ) sin(90^circ) cos(270^circ - 110^circ) = cos(160^circ)
Calculando:
270^circ - 110^circ = 160^circ
cos(160^circ) approx -0.9397
Então:
cos(thetai) = 0 + 0.8704 times 1 times (-0.9397) approx -0.8173
Como o cosseno é negativo, o ângulo de incidência é maior que 90^circ, o que significa que os raios solares atingem a superfície de forma que estão “atrás” da normal.
Portanto:
thetai = arccos(-0.8173) approx 144.5^circ

Resposta

Os ângulos de incidência do feixe solar às 14:00 no dia 20 de janeiro, na latitude 35^circ N, são:
a) Superfície Horizontal: 60.4^circ
b) Superfície Inclinado para o Sul a 40^circ: 55.3^circ
c) Superfície Inclinado a 40^circ, de Frente para 25^circ Sudoeste: 81.8^circ
d) Superfície Vertical Voltada para o Sul: 72.5^circ
e) Superfície Vertical de Frente para o Oeste: 144.5^circ

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