Considere o ponto P=(1,2,1) e a reta r: x2=-y=z.
Determine a projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto P = (1, 2, 1) e uma reta r dada pela equação x2 = -y = z. Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal desse ponto P na reta r. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente a projeção de um ponto sobre uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da reta r de forma paramétrica. A equação dada x2 = -y = z sugere que podemos usar um parâmetro t para expressar as coordenadas de qualquer ponto na reta. Assim, temos:
x = 2t, y = -t, z = t
Portanto, a reta r pode ser escrita como:
r(t) = (2t, -t, t)

Passo 3

Agora, precisamos determinar a direção da reta r, que é dada pelo vetor diretor v. Observando as coordenadas paramétricas, vemos que:
v = (2, -1, 1)
Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando no espaço.

Passo 4

Para encontrar a projeção ortogonal do ponto P na reta r, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor. Primeiro, escolhemos um ponto qualquer na reta r. Vamos usar o ponto quando t = 0, ou seja, A = (0, 0, 0).
O vetor AP que vai de A até P é:
AP = P - A = (1, 2, 1)

Passo 5

A projeção do vetor AP sobre o vetor diretor v é dada por:
Projv AP = ( AP cdot vv cdot v ) v
Vamos calcular os produtos internos necessários.

Passo 6

Calculando o produto escalar AP cdot v:
AP cdot v = (1)(2) + (2)(-1) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1
E o produto escalar v cdot v:
v cdot v = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da projeção:
Projv AP = ( 16 ) (2, -1, 1) = ( 26, -16, 16 ) = ( 13, -16, 16 )

Passo 8

Esse vetor projetado nos dá as coordenadas da projeção do ponto P na reta r. Portanto, o ponto projetado Q é:
Q = ( 13, -16, 16 )

Resposta

A projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r é Q = ( 13, -16, 16 ).

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