Considere o ponto
e a reta
.
Determine a projeção ortogonal do ponto
sobre a reta
.
Determine a projeção ortogonal do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto
e uma reta
dada pela equação
. Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal desse ponto
na reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente a projeção de um ponto sobre uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da reta
de forma paramétrica. A equação dada
sugere que podemos usar um parâmetro
para expressar as coordenadas de qualquer ponto na reta. Assim, temos:
Portanto, a reta
pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a direção da reta
, que é dada pelo vetor diretor
. Observando as coordenadas paramétricas, vemos que:
Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando no espaço.
Passo 4
Para encontrar a projeção ortogonal do ponto
na reta
, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor. Primeiro, escolhemos um ponto qualquer na reta
. Vamos usar o ponto quando
, ou seja,
.
O vetor
que vai de
até
é:
Passo 5
A projeção do vetor
sobre o vetor diretor
é dada por:
Vamos calcular os produtos internos necessários.
Passo 6
Calculando o produto escalar
:
E o produto escalar
:
Passo 7
Substituindo esses valores na fórmula da projeção:
Passo 8
Esse vetor projetado nos dá as coordenadas da projeção do ponto
na reta
. Portanto, o ponto projetado
é:
Resposta
A projeção ortogonal do ponto
sobre a reta
é
.
Exercícios relacionados
Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos , centro em
, excentricidade
e eixo menor medindo 6 .
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos
Calcule o ângulo entre os planos
.
Determine o ângulo entre os planos
e
.
Seja
a transformação linear definida por
. Responda às questões abaixo:
Determine supondo fixadas as bases em
sendo
e em
sendo a base
.
Determine