Considere o ponto e a reta .
Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto e uma reta dada pela equação . Nosso objetivo é encontrar a projeção ortogonal desse ponto na reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente a projeção de um ponto sobre uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da reta de forma paramétrica. A equação dada sugere que podemos usar um parâmetro para expressar as coordenadas de qualquer ponto na reta. Assim, temos:
Portanto, a reta pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, precisamos determinar a direção da reta , que é dada pelo vetor diretor . Observando as coordenadas paramétricas, vemos que:
Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando no espaço.

Passo 4

Para encontrar a projeção ortogonal do ponto na reta , vamos usar a fórmula da projeção de um vetor. Primeiro, escolhemos um ponto qualquer na reta . Vamos usar o ponto quando , ou seja, .
O vetor que vai de até é:

Passo 5

A projeção do vetor sobre o vetor diretor é dada por:
Vamos calcular os produtos internos necessários.

Passo 6

Calculando o produto escalar :
E o produto escalar :

Passo 7

Substituindo esses valores na fórmula da projeção:

Passo 8

Esse vetor projetado nos dá as coordenadas da projeção do ponto na reta . Portanto, o ponto projetado é:

Resposta

A projeção ortogonal do ponto sobre a reta é .

Exercícios relacionados

Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos , centro em , excentricidade e eixo menor medindo 6 .
Calcule o ângulo entre os planos .
Determine o ângulo entre os planos e .
Seja a transformação linear definida por . Responda às questões abaixo:
Determine supondo fixadas as bases em sendo e em sendo a base .