Calcule o ângulo entre u+v e u-v, sabendo que |u|=raiz3,|v|=1 e que o ângulo entre u e v é 30^circ. Dados A(2, y) e B(3,3), determine y para que o módulo do vetor A B seja raiz5.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício com duas partes. Primeiro, precisamos calcular o ângulo entre os vetores u + v e u - v, sabendo que as normas de u e v são raiz3 e 1, respectivamente, e que o ângulo entre u e v é de 30^circ. Na segunda parte, dados os pontos A(2, y) e B(3, 3), precisamos encontrar o valor de y para que o módulo do vetor AB seja raiz5. Vamos precisar de conhecimentos de álgebra vetorial, como produto escalar e magnitude de vetores, além de um pouco de geometria para calcular distâncias entre pontos.

Passo 2

Vamos começar calculando o ângulo entre u + v e u - v. Para isso, usamos a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores:
costheta = (a cdot b)|a| |b|
Onde theta é o ângulo entre os vetores a e b. Primeiro, precisamos encontrar o produto escalar entre u + v e u - v.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
(u + v) cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v
Sabemos que u cdot v = |u||v|cos30^circ, então:
u cdot v = raiz3 times 1 times raiz32 = 32
Substituindo na expressão:
(u + v) cdot (u - v) = |u|^2 - |v|^2 = 3 - 1 = 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores u + v e u - v. Usamos a fórmula da magnitude de um vetor somado ou subtraído:
|u pm v| = raiz|u|^2 + |v|^2 pm 2u cdot v
Calculando |u + v|:
|u + v| = raiz3 + 1 + 2 times 32 = raiz4 + 3 = raiz7
E |u - v|:
|u - v| = raiz3 + 1 - 2 times 32 = raiz4 - 3 = raiz1 = 1

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo theta:
costheta = 2raiz7 times 1 = 2raiz7
Para encontrar theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(2raiz7) approx 35.38^circ

Passo 6

Vamos para a segunda parte do exercício. Queremos encontrar o valor de y tal que a distância entre os pontos A(2, y) e B(3, 3) seja raiz5. A fórmula da distância entre dois pontos no plano é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aqui, d = raiz5, x1 = 2, y1 = y, x2 = 3 e y2 = 3.

Passo 7

Substituindo na fórmula:
raiz5 = raiz(3 - 2)^2 + (3 - y)^2
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
5 = (1)^2 + (3 - y)^2
Simplificando:
5 = 1 + (3 - y)^2 (3 - y)^2 = 4

Passo 8

Resolvendo a equação:
3 - y = pm 2
Isso nos dá duas soluções:
  1. 3 - y = 2 Rightarrow y = 1
  2. 3 - y = -2 Rightarrow y = 5

Resposta

O ângulo entre u + v e u - v é aproximadamente 35,38^circ. Os valores de y que satisfazem a condição dada são y = 1 e y = 5.

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