Calcule o ângulo entre e , sabendo que e que o ângulo entre e é . Dados e , determine para que o módulo do vetor seja .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício com duas partes. Primeiro, precisamos calcular o ângulo entre os vetores e , sabendo que as normas de e são e , respectivamente, e que o ângulo entre e é de . Na segunda parte, dados os pontos e , precisamos encontrar o valor de para que o módulo do vetor seja . Vamos precisar de conhecimentos de álgebra vetorial, como produto escalar e magnitude de vetores, além de um pouco de geometria para calcular distâncias entre pontos.

Passo 2

Vamos começar calculando o ângulo entre e . Para isso, usamos a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores:
Onde é o ângulo entre os vetores e . Primeiro, precisamos encontrar o produto escalar entre e .

Passo 3

Calculando o produto escalar:
Sabemos que , então:
Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores e . Usamos a fórmula da magnitude de um vetor somado ou subtraído:
Calculando :
E :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo :
Para encontrar , tiramos o arco cosseno:

Passo 6

Vamos para a segunda parte do exercício. Queremos encontrar o valor de tal que a distância entre os pontos e seja . A fórmula da distância entre dois pontos no plano é:
Aqui, , , , e .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo a equação:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

O ângulo entre e é aproximadamente . Os valores de que satisfazem a condição dada são e .

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