Calcule o ângulo entre e , sabendo que e que o ângulo entre e é . Dados e , determine para que o módulo do vetor seja .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício com duas partes. Primeiro, precisamos calcular o ângulo entre os vetores e , sabendo que as normas de e são e , respectivamente, e que o ângulo entre e é de . Na segunda parte, dados os pontos e , precisamos encontrar o valor de para que o módulo do vetor seja . Vamos precisar de conhecimentos de álgebra vetorial, como produto escalar e magnitude de vetores, além de um pouco de geometria para calcular distâncias entre pontos.
Passo 2
Vamos começar calculando o ângulo entre e . Para isso, usamos a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores:
Onde é o ângulo entre os vetores e . Primeiro, precisamos encontrar o produto escalar entre e .
Passo 3
Calculando o produto escalar:
Sabemos que , então:
Substituindo na expressão:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores e . Usamos a fórmula da magnitude de um vetor somado ou subtraído:
Calculando :
E :
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo :
Para encontrar , tiramos o arco cosseno:
Passo 6
Vamos para a segunda parte do exercício. Queremos encontrar o valor de tal que a distância entre os pontos e seja . A fórmula da distância entre dois pontos no plano é:
Aqui, , , , e .
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
O ângulo entre e é aproximadamente . Os valores de que satisfazem a condição dada são e .