Em um plano, munido de um sistema cartesiano ortogonal de referência, são dados os pontos e . Determine o valor de para o qual o ângulo .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no plano cartesiano: , e . A gente precisa achar o valor de que faz com que o ângulo formado por , e seja .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como vetores e a fórmula do ângulo entre eles. Vamos precisar calcular os vetores que ligam esses pontos e aplicar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os vetores e .
  • O vetor é dado por :
  • O vetor é dado por :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre os vetores e :
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores e :
  • Módulo de :
  • Módulo de :

Passo 6

Sabemos que o ângulo é , então:
Substituindo na fórmula do cosseno:

Passo 7

Vamos resolver a equação para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Sabendo que :
Simplificando:

Passo 8

Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo:
Multiplicando tudo por 25 para eliminar a fração:
Reorganizando os termos:
Dividindo por -6 para simplificar:

Passo 9

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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