Em um plano, munido de um sistema cartesiano ortogonal de referência, são dados os pontos e . Determine o valor de para o qual o ângulo .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no plano cartesiano: , e . A gente precisa achar o valor de que faz com que o ângulo formado por , e seja .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como vetores e a fórmula do ângulo entre eles. Vamos precisar calcular os vetores que ligam esses pontos e aplicar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os vetores e .
O vetor é dado por :
O vetor é dado por :
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre os vetores e :
Onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são os módulos (ou comprimentos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 5
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores e :
Módulo de :
Módulo de :
Passo 6
Sabemos que o ângulo é , então:
Substituindo na fórmula do cosseno:
Passo 7
Vamos resolver a equação para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Sabendo que :
Simplificando:
Passo 8
Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo:
Multiplicando tudo por 25 para eliminar a fração:
Reorganizando os termos:
Dividindo por -6 para simplificar:
Passo 9
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: