Em um plano, munido de um sistema cartesiano ortogonal de referência, são dados os pontos e . Determine o valor de para o qual o ângulo .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no plano cartesiano: , e . A gente precisa achar o valor de que faz com que o ângulo formado por , e seja .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como vetores e a fórmula do ângulo entre eles. Vamos precisar calcular os vetores que ligam esses pontos e aplicar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os vetores e MA = (6 - 3, k - 0) = (3, k) .
O vetor é dado por :
O vetor é dado por :
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre os vetores cos(theta) = BA cdot MA|BA| cdot |MA| e :
Onde:
é o produto escalar dos vetores.
e são os módulos (ou comprimentos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar BA cdot MA = (7)(3) + (1)(k) = 21 + k :
Passo 5
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores |BA| = raiz7^2 + 1^2 = raiz49 + 1 = raiz50 e |MA| = raiz3^2 + k^2 = raiz9 + k^2 :
Módulo de :
Módulo de :
Passo 6
Sabemos que o ângulo cos(45^circ) = raiz22 é raiz22 = 21 + kraiz50 cdot raiz9 + k^2 , então:
Substituindo na fórmula do cosseno:
Passo 7
Vamos resolver a equação para 21 + k = raiz22 cdot raiz50 cdot raiz9 + k^2 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 21 + k = raiz22 cdot 5raiz2 cdot raiz9 + k^2 :
21 + k = 5 cdot raiz9 + k^2
Sabendo que :
Simplificando:
Passo 8
Agora, isolamos 21 + k5 = raiz9 + k^2 :
( 21 + k5 )^2 = 9 + k^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
441 + 42k + k^225 = 9 + k^2
Expandindo:
441 + 42k + k^2 = 225 + 25k^2
Multiplicando tudo por 25 para eliminar a fração:
-24k^2 + 42k + 216 = 0
Reorganizando os termos:
4k^2 - 7k - 36 = 0
Dividindo por -6 para simplificar:
Passo 9
Vamos resolver a equação quadrática k = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 4 cdot (-36)2 cdot 4 usando a fórmula de Bhaskara: