Em um plano, munido de um sistema cartesiano ortogonal de referência, são dados os pontos A=(3,0), B=(10,1) e M=(6, k). Determine o valor de k para o qual o ângulo B widehatA M=45^circ.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no plano cartesiano: , e . A gente precisa achar o valor de que faz com que o ângulo formado por , e seja .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como vetores e a fórmula do ângulo entre eles. Vamos precisar calcular os vetores que ligam esses pontos e aplicar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os vetores BA = (10 - 3, 1 - 0) = (7, 1) e MA = (6 - 3, k - 0) = (3, k) .
  • O vetor é dado por :
  • O vetor é dado por :

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre os vetores cos(theta) = BA cdot MA|BA| cdot |MA| e :
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar BA cdot MA = (7)(3) + (1)(k) = 21 + k :

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores |BA| = raiz7^2 + 1^2 = raiz49 + 1 = raiz50 e |MA| = raiz3^2 + k^2 = raiz9 + k^2 :
  • Módulo de :
  • Módulo de :

Passo 6

Sabemos que o ângulo cos(45^circ) = raiz22 é raiz22 = 21 + kraiz50 cdot raiz9 + k^2 , então:
Substituindo na fórmula do cosseno:

Passo 7

Vamos resolver a equação para 21 + k = raiz22 cdot raiz50 cdot raiz9 + k^2 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 21 + k = raiz22 cdot 5raiz2 cdot raiz9 + k^2 :
21 + k = 5 cdot raiz9 + k^2
Sabendo que :
Simplificando:

Passo 8

Agora, isolamos 21 + k5 = raiz9 + k^2 :
( 21 + k5 )^2 = 9 + k^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
441 + 42k + k^225 = 9 + k^2
Expandindo:
441 + 42k + k^2 = 225 + 25k^2
Multiplicando tudo por 25 para eliminar a fração:
-24k^2 + 42k + 216 = 0
Reorganizando os termos:
4k^2 - 7k - 36 = 0
Dividindo por -6 para simplificar:

Passo 9

Vamos resolver a equação quadrática k = 7 pm raiz(-7)^2 - 4 cdot 4 cdot (-36)2 cdot 4 usando a fórmula de Bhaskara:
De
Calculando o discriminante:
k = 7 pm 258
Então:
k = 7 + 258 = 328 = 4
Isso nos dá duas soluções:
k = 7 - 258 = -188 = -94

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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