Calcule o valor de para que os pares de retas abaixo sejam coplanares.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas de e . O objetivo é encontrar o valor de que faz com que essas duas retas estejam no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.
Passo 2
Vamos começar escrevendo as equações das duas retas de forma paramétrica, que nos ajuda a identificar os vetores diretores e pontos por onde passam.
Para a reta :
Podemos parametrizar em termos de :
Então, podemos escrever s: x-12 = -y = zm como:
x = 2lambda + 1 y = -lambda z = mlambda
Aqui, s: s(lambda) = 1 0 0 + lambda 2 -1 m é um ponto na reta 1 0 0 e 2 -1 m é o vetor diretor de .
Para a reta :
Podemos parametrizar com um parâmetro :
Então, pode ser escrita como:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor de .
Passo 3
Para que as duas retas sejam coplanares, o vetor que liga um ponto de P = 0 3 -1 , Q = 1 0 0 a um ponto de PQ = Q - P = 1 0 0 - 0 3 -1 = 1 -3 1 deve ser combinável linearmente com os vetores diretores das retas. Em outras palavras, os vetores devem ser linearmente dependentes.
Vamos escolher os pontos dr = 1 2 3 , ds = 2 -1 m , PQ = 1 -3 1 de 1 & 2 & 1 2 & -1 & -3 3 & m & 1 = 0 e de :
O vetor que liga a é:
Agora, temos três vetores:
Para que esses vetores sejam coplanares, o determinante formado por eles deve ser zero: