Calcule o valor de para que os pares de retas abaixo sejam coplanares.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas de e . O objetivo é encontrar o valor de que faz com que essas duas retas estejam no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações das duas retas de forma paramétrica, que nos ajuda a identificar os vetores diretores e pontos por onde passam.
Para a reta :
Podemos parametrizar em termos de :
Então, podemos escrever como:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor de .
Para a reta :
Podemos parametrizar com um parâmetro :
Então, pode ser escrita como:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor de .

Passo 3

Para que as duas retas sejam coplanares, o vetor que liga um ponto de a um ponto de deve ser combinável linearmente com os vetores diretores das retas. Em outras palavras, os vetores devem ser linearmente dependentes.
Vamos escolher os pontos de e de :
O vetor que liga a é:
Agora, temos três vetores:
Para que esses vetores sejam coplanares, o determinante formado por eles deve ser zero:

Passo 4

Vamos calcular esse determinante:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

Resolvendo a equação , temos:
Portanto, o valor de que faz as retas e serem coplanares é 4.

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