Calcule o valor de m para que os pares de retas abaixo sejam coplanares.
r:l y=2 x+3, z=3 x-1 e s: x-12=-y=zm

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas de e . O objetivo é encontrar o valor de que faz com que essas duas retas estejam no mesmo plano, ou seja, sejam coplanares. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica e vetores.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações das duas retas de forma paramétrica, que nos ajuda a identificar os vetores diretores e pontos por onde passam.
Para a reta r: y = 2x + 3 z = 3x - 1 :
x = t y = 2t + 3 z = 3t - 1
Podemos parametrizar r: r(t) = 0 3 -1 + t 1 2 3 em termos de 0 3 -1 :
1 2 3
Então, podemos escrever s: x-12 = -y = zm como:
x = 2lambda + 1 y = -lambda z = mlambda
Aqui, s: s(lambda) = 1 0 0 + lambda 2 -1 m é um ponto na reta 1 0 0 e 2 -1 m é o vetor diretor de .
Para a reta :
Podemos parametrizar com um parâmetro :
Então, pode ser escrita como:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor de .

Passo 3

Para que as duas retas sejam coplanares, o vetor que liga um ponto de P = 0 3 -1 , Q = 1 0 0 a um ponto de PQ = Q - P = 1 0 0 - 0 3 -1 = 1 -3 1 deve ser combinável linearmente com os vetores diretores das retas. Em outras palavras, os vetores devem ser linearmente dependentes.
Vamos escolher os pontos dr = 1 2 3 , ds = 2 -1 m , PQ = 1 -3 1 de 1 & 2 & 1 2 & -1 & -3 3 & m & 1 = 0 e de :
O vetor que liga a é:
Agora, temos três vetores:
Para que esses vetores sejam coplanares, o determinante formado por eles deve ser zero:

Passo 4

Vamos calcular esse determinante:
1 & 2 & 1 2 & -1 & -3 3 & m & 1 = 1 cdot -1 & -3 m & 1 - 2 cdot 2 & -3 3 & 1 + 1 cdot 2 & -1 3 & m
Calculando cada menor:
-1 & -3 m & 1 = (-1)(1) - (-3)(m) = -1 + 3m
2 & -3 3 & 1 = (2)(1) - (-3)(3) = 2 + 9 = 11
2 & -1 3 & m = (2)(m) - (-1)(3) = 2m + 3
Substituindo de volta:
1(-1 + 3m) - 2(11) + 1(2m + 3) = 0
Simplificando:
-1 + 3m - 22 + 2m + 3 = 0
(3m + 2m) + (-1 - 22 + 3) = 0
5m - 20 = 0

Resposta

Resolvendo a equação m = 205 = 4 , temos:
Portanto, o valor de que faz as retas e serem coplanares é 4.

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