Considere o ponto P=(1,2,1) e a reta r: x2=-y=z.
Encontre a reta perpendicular a r por P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto e a reta dada por . Nossa missão é encontrar uma reta que seja perpendicular à e que passe pelo ponto . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre retas no espaço e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a reta x2 = t, -y = t, z = t . A equação x = 2t, y = -t, z = t pode ser reescrita em forma paramétrica. Vamos chamar cada parte dessa igualdade de um parâmetro r(t) = (2t, -t, t) :
Daí, isolando cada variável:
Então, a parametrização da reta fica:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma reta que seja perpendicular à PQ cdot vr = 0 e passe pelo ponto . Essa reta perpendicular vai se encontrar com no ponto mais próximo de em relação a .
Vamos chamar de esse ponto de interseção na reta . Assim, o vetor precisa ser perpendicular ao vetor diretor . Na prática, isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:

Passo 4

Para encontrar o ponto Q = (2t, -t, t) , vamos expressar suas coordenadas usando a parametrização da reta PQ = Q - P = (2t - 1, -t - 2, t - 1) :
PQ cdot vr = (2t - 1)(2) + (-t - 2)(-1) + (t - 1)(1) = 0
O vetor 4t - 2 + t + 2 + t - 1 = 0 é:
6t - 1 = 0
Agora, aplicamos a condição de perpendicularidade:
6t = 1 implies t = 16
Vamos calcular isso:

Passo 5

Com Q = (2 cdot 16, -16, 16) = (13, -16, 16) , podemos encontrar as coordenadas de PQ = Q - P = (13 - 1, -16 - 2, 16 - 1) = (-23, -136, -56) :
Agora, o vetor é:

Passo 6

Finalmente, a reta que procuramos é aquela que passa por x = 1 - 23s y = 2 - 136s z = 1 - 56s e tem direção dada por . Podemos escrever a equação paramétrica dessa reta:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A reta perpendicular a x = 1 - 23s y = 2 - 136s z = 1 - 56s que passa pelo ponto é dada por:
onde é um parâmetro real.

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