Considere o ponto e a reta .
Encontre a reta perpendicular a por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o ponto e a reta dada por . Nossa missão é encontrar uma reta que seja perpendicular à e que passe pelo ponto . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre retas no espaço e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a reta . A equação pode ser reescrita em forma paramétrica. Vamos chamar cada parte dessa igualdade de um parâmetro :
Daí, isolando cada variável:
Então, a parametrização da reta fica:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma reta que seja perpendicular à e passe pelo ponto . Essa reta perpendicular vai se encontrar com no ponto mais próximo de em relação a .
Vamos chamar de esse ponto de interseção na reta . Assim, o vetor precisa ser perpendicular ao vetor diretor . Na prática, isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero:

Passo 4

Para encontrar o ponto , vamos expressar suas coordenadas usando a parametrização da reta :
O vetor é:
Agora, aplicamos a condição de perpendicularidade:
Vamos calcular isso:

Passo 5

Com , podemos encontrar as coordenadas de :
Agora, o vetor é:

Passo 6

Finalmente, a reta que procuramos é aquela que passa por e tem direção dada por . Podemos escrever a equação paramétrica dessa reta:
Onde é o parâmetro.

Resposta

A reta perpendicular a que passa pelo ponto é dada por:
onde é um parâmetro real.

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